Métodos de Elementos Finitos para Problemas en Bioelectromagnetismo.

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es proponer, analizar y testear modelos matemáticos y computacionales eficientes a través de los cuales poder localizar actividad cerebral a partir de mediciones de los campos eléctricos y magnéticos en la super cie de la cabeza. Estas mediciones se pueden obtener a través de un electroencefalograma y un magnetoencefalograma. En términos matemáticos, esta tesis se centra en resolver un problema inverso. En primer lugar se estudia el problema inverso usando como modelo las ecuaciones de corrientes inducidas. Igual que para el sistema completo de ecuaciones de Maxwell, se demuestra que una fuente de corriente volumétrica no puede ser identificada por el conocimiento de las componentes tangenciales de los campos electromagnéticos sobre la frontera, y se caracteriza el espacio de las fuentes no radiantes. Por otro lado, se prueba que el problema inverso tiene una única solución si la fuente está soportada en la frontera de un subdominio o si es la suma de un número nito de dipolos. También este trabajo se enfoca en la aplicabilidad de estos resultados para la localización de la actividad cerebral a partir de las mediciones que se obtienen mediante la electroencefalografía y la magnetoencefalografía. Posteriormente, se analiza el problema electrostático con fuente de corriente dipolar. Este es un problema singular, ya que tal modelo considera derivadas de primer orden de una distribución delta de Dirac. Su solución pertenece a Lp, con 1 <= p < 3/2 en el caso tridimensional y con 1 <= p < 2 en el caso bidimensional. Se consideran la aproximación numérica del problema directo a través de elementos nitos lineales a trozos y continuos. Se prueba una estima a priori del error en norma Lp. Además, se propone un estimador de error a posteriori de tipo residual. Se demuestra que tal estimador es confiable y eficiente. Por último, se utiliza este estimador para guiar un procedimiento adaptativo, el cual experimentalmente muestra un orden óptimo de convergencia.