Espectros de energía de átomos hidrogenoides y expansión de álgebras de Lie

Abstract

Cuando existe Simetría en un sistema físico, es posible ocupar la Teoría de Grupos para simplificar tanto el tratamiento como la comprensión del sistema[18]. El Atomo de Hidrógeno puede ser descrito a través de la simetría esférica. La simetría geométrica del algebra de Lie so(3) describe la invarianza bajo rotaciones tridimensionales. La simetría dinámica del algebra de Lie so(4) describe los niveles de energía y su degeneración[2, 5, 33]. Pauli fue quien primero calculó el espectro de energía del Átomo de Hidrógeno de manera algebraica, relacionando el hamiltoniano a los operadores de Casimir [10]. El mecanismo de expansión de algebras de Lie, el cual permite construir nuevas algebras de Lie a partir de un álgebra de Lie dada, fue introducido como una generalización de la contracción de Inönü-Wigner[17]. La S-Expansión fue propuesto como un método alternativo de expansión de algebras, el cual se basa en combinar las constantes de estructura de un algebra de Lie G con la ley de composición interna de un semigrupo abeliano S, con el propósito de definir un nuevo paréntesis de Lie [22, 23]. El procedimiento de S-Expansión permite obtenerlos operadores de Casimir v a S-Expansión [26]. El propósito de esta tesis es la obtención del espectro de energía de átomos hidrogenoides utilizando el método de S-Expansión de álgebras de Lie. Para esto, consideraremos la S-Expansión de los operadores de Casimir del átomo bajo estudio. Realizaremos la S-Expansión de las álgebras de Lie so(3) y so(6), y obtendremos sus correspondientes operadores de Casimir vía S-Expansión. El procedimiento de S-Expansión fue modificado [23], con el fín de incluir parcialmente la OS-reducción y sin la necesidad de conocer la descomposición en subespacios del álgebra de Lie original. Los operadores de Casimir coinciden con los obtenidos en el problema de Kepler en 3 y 6 dimensiones, y luego, su espectro coincide con los obtenidos de manera algebraica por Pauli y Schrödinger[5, 10, 18]. Además, se realizo una generalización de este procedimiento a n-dimensiones. A modo de ejemplo, se utilizó el semigrupo S(2)E en la S-Expansión del álgebra so(4,2), la cual pudo identificarse como un Álgebra de Maxwell, algebra que representa una partícula inmersa en un campo electromagnético [7, 8].