Análisis numérico para ecuaciones diferenciales estocásticas dirigidas por movimientos brownianos fraccionarios

Abstract

Esta tesis aborda el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE’s) dirigidas por procesos multiparamétricos autosimilares con el objetivo de sentar un aporte al cálculo estocástico respecto a este tipo de procesos y así ampliar el conjunto de aplicaciones de las EDE’s y los fenómenos suceptibles de ser modelados por estas. En particular se estudiaron tres tipos de EDE’s dirigidas por procesos fraccionarios, analizando diferentes características y propiedades de estas. También se define la integral de Wiener con respecto a la sábana de Hermite y se ejemplifica su uso a través de una EDE. El movimiento Browniano fraccionario (mBf) puede considerarse en muchos sentidos como la generalización natural del movimiento Browniano standard (mBs), sin embargo, las herramientas desarrolladas para el cálculo estocástico con respecto a este último dejan de ser útiles para el mBf ya que este no es una semi-martingala ni tampoco es markoviano. Así, la primera parte de esta tesis consiste en analizar una EDE con delay dirigida por un mBf cuyo parámetro de autosimilaridad H pertenece al intervalo ( 1 2 , 1). A través de un método numérico se estudia una aproximación a tiempo discreto para la solución de la ecuación, se prueba la convergencia fuerte y se establece la velocidad de la misma.Posteriormente se avanza hacia los casos multiparamétricos. Se analizó la sábana fraccionaria de Ornstein-Uhlenbeck (sfOU), la cual es definida como la solución de una ecuación de Langevin dirigida por una sábana Browniana fraccionaria (sBf), siendo este último proceso anisotrópico y para el cual se consideró la situación en que sus parámetros de autosimilaridad α y β son mayores que 1 2 (i.e. memoria larga). Se construyó un estimador de mínimos cuadrados para el parámetro de tendencia de la sfOU, se demostró la consistencia fuerte del estimador y que este no es asintóticamente normal, esto último en contraste con el caso uniparamétrico. Continuando con el estudio de campos aleatorios, la tercera parte de esta tesis se dedicó al estudio de una ecuación estocástica de la onda con ruido aditivo fraccionario en el tiempo y coloreado en el espacio. Se demostraron cotas óptimas para la regularidad de la solución tanto temporal como espacial, lo que posteriormente permite establecer la regularidad conjunta en función de una métrica bien definida. Esto junto con algunos conceptos de Teoría de Potencial permitió establecer cotas superiores e inferiores para las probabilidades de arrivo de la solución.Finalmente, la última parte de esta tesis presenta un aporte en la construcción del cálculo estocástico con respecto a los procesos de Hermite, los cuales son caracterizados por el parámetro de autosimilaridad H y el parámetro q. A diferencia de los procesos estudiados previamente, los procesos de Hermite son Gaussianos solo cuando q = 1, caso en que se recupera el mBf. Se define la sábana de Hermite (sH) como una integral múltiple con respecto a la sBs y se introducen las integrales de Wiener con respecto a ésta, lo que junto con otros resultados presentados previamente en esta tesis permiten analizar a modo de ejemplo una EDE de la onda con respecto a la sH, se define su solución y se demuestra la regularidad temporal, espacial y conjunta de esta. Otros resultados adicionales también son presentados