Solución numérica de modelos epidemiológicos espacio-temporales

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es conocer las dinámicas espacio-temporales de las enfermedades infecciosas descritas por los sistemas de ecuaciones convección-difusión que, por un lado, representan extensiones espaciales de epidemias compartimentales temporales bien conocidas y por otra parte involucran modelos recientemente desarrollados de movimiento biológico dirigido y no dirigido. Debido a la naturaleza no lineal y no local del modelo gobernante, apuntamos a obtener información mediante la implementación de métodos numéricos avanzados. La elección de los escenarios están motivados por la conexión existente entre los sistemas dinámicos de ecuaciones diferenciales ordinarias y los sistemas espacio-temporales de ecuaciones diferenciales parciales. En términos generales, los sistemas dinámicos determinan la variación de las cantidades con respecto a la variable de tiempo. Considerando que estas cantidades corresponden al número de individuos de una población que se mueven en un cierto entorno, esto motiva agregar una o más variables espaciales, a partir de las cuales se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Los sistemas dinámicos presentados corresponden a modelos utilizados principalmente en el estudio de enfermedades infecciosas como la in uenza AH1N1, la malaria, el hantavirus, el Ebola y enfermedades de transmisión sexual. Para el estudio de estas enfermedades, el punto de partida es considerar una cierta poblaci on de individuos y clasi carlos en dos o más estados con respecto a una enfermedad en particular. Un rol importante está determinado por el número básico de reproducción R0, que corresponde al número promedio de casos secundarios que un infeccioso puede causar durante el periodo de enfermedad. Este número está determinado por valores constantes que se obtienen empíricamente para cada modelo de enfermedad en particular. Si R0 < 1, entonces la enfermedad no genera un brote, y si R0 > 1, se produce una epidemia. Otros conceptos importantes en epidemiología son los de un agente (persona, animal o microorganismo), un vector (cualquier agente que transporta y transmite un patógeno infeccioso en otro organismo vivo) y un huésped (cualquier agente que hospeda lo infeccioso pero no lo transmite). Cuando en un sistema dinámico hay un vector que transmite la enfermedad a un anfitrión, entonces se habla de enfermedad infecciosa transmitida por un vector. En ecuaciones diferenciales parciales que consideran derivadas temporales y espaciales, dos efectos importantes asociados con las derivadas espaciales son los fenómenos de difusión, que en este caso se interpreta como la tendencia de los individuos a alejarse unos de otros y el fen omeno de la convolución, que tiene relación con la manera en que algunos individuos tienen la capacidad de localizar a otros y moverse en su dirección. Una enfermedad infecciosa zoonótica presente en Chile es el Hantavirus, que tiene dos manifestaciones principales en los humanos, una fiebre hemorrágica con síndrome renal y la otra como síndrome cardiopulmonar. Esta enfermedad que afecta a los humanos y puede ser fatal, se contrae por contacto con el ratón de cola larga Oligo- ryzomys longicaudatus o con las heces o la orina del animal. En primera instancia se trabaja con un sistema que modela la propagación de la infección por Hantavirus en roedores el cual se describe mediante un modelo compartimental espacio-temporal susceptible-expuesto-infeccioso-recuperado (SEIR) que distingue entre subpoblaciones de machos y de hembras. Se supone que ambas subpoblaciones difieren en su movimiento con respecto a las variaciones locales de las densidades propias y del grupo de género opuesto. Se examinan tres modelos alternativos para el movimiento de los individuos masculinos. En algunos casos, el movimiento no solo está dirigido por el gradiente de una densidad (como en el caso difusivo estándar), sino también por una convolución no local de valores de densidad. Se propone entonces un método numérico eficiente para el modelo reacción-difusión convección del sistema de ecuaciones diferenciales parciales resultante. Este método involucra ténicas de reconstrucciones ponderadas esencialmente no oscilatorias (WENO) en combinación con métodos implícitos explícitos de Runge-Kutta (IMEX-RK) para el paso del tiempo. En la segunda parte de este trabajo se trata de otro tipo especial de sistemas dinámicos, llamados modelos depredador-presa. Estos son a menudo estudiados en el contexto de la ecología pues ellos se utilizan para predecir la cantidad de presas y cazadores (depredadores) a lo largo del tiempo. Un fenómeno interesante en la naturaleza es la formación de patrones, el cual puede describirse a través de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales asociados a modelos espacio-temporales y que bajo ciertas condiciones dan lugar a soluciones que se estabilizan a lo largo del tiempo. Se formula un modelo ecoepidemiológico espacio-temporal combinando un modelo no espacial disponible para la dinámica depredador-presa con presas infectadas con un modelo espacio-temporal epidémico susceptible-infeccioso (SI) de formación de patrón debido a la difusión. Se supone que los depredadores atacan exclusivamente presas infectadas, de acuerdo con la hipótesis de que la infección debilita a la presa y aumenta su susceptibilidad a la depredación. Además, el movimiento de los depredadores se describe por una convolución no local de la densidad de presas infectadas. En esta parte el objetivo es observar el efecto de la convolución, los patrones formados por la presa cambian una vez que aparece el depredador.