Strong Duality in Non-convex Optimization and Related Properties dualidad fuerte en optimización no convexa y propiedades afines

Abstract

El objetivo principal de esta tesis doctoral es analizar y caracterizar la propiedad de dualidad fuerte Lagrangiana para un problema escalar no convexo sujeto a una restricción, más allá de aquellos resultados existentes en la literatura. Nuestros resultados son aplicados al caso cuadrático no convexo. En particular, obtenemos una versión relajada del teorema de Dines, asociado al problema de minimización cuadrática con una desigualdad, también del tipo cuadrática junto con varias igualdades del tipo afín. En ese sentido, discutimos el caso cuando el valor óptimal no es finito. A continuación, establecemos una caracterización del tipo geométrica de la propiedad de dualidad fuerte para el problema cuadrático no convexo, sin necesidad de asumir hipótesis de Slater, de ahí obtener condiciones necesarias y suficientes de optimalidad. Finalmente, a la luz de los resultados sobre no vacuidad del conjunto de solución, obtenidos por Frank y Wolfe, nuestra versión considera conjuntos asintóticamente lineales. En la segunda parte de esta tesis, establecemos una caracterización topológica y geométrica de la propiedad de dualidad fuerte, para un problema general no convexo sujeto a una restricci´on del tipo igualdad, junto con restricciones del tipo geométricas, de donde es revelada la convexidad de la envoltura cónica asociada a la imagen conjunta determinada por las funciones del problema original. Como aplicación, revisamos la validez de las condiciones de KKT sin asumir condición de regularidad estándar. En la parte final de esta tesis, estudiamos en detalle el problema cuadrático estándar, al sustituir al simplejo usual por un cono convexo, puntiagudo, no necesariamente poliédrico, que admita una base compacta, por lo cual asociamos a este problema tres duales distintos, en cada caso, caracterizamos la propiedad de dualidad fuerte en términos de la de la copositividad del Hessiano de la función objetivo, junto con algunas condiciones de optimalidad. En ese sentido, para el caso de dos diminsiones, caracterizamos cuando toda solución local es global.