About non-symplectic automorphisms of composite order of K3 surfaces.

Abstract

Un automorfismo de orden finito n ≥ 2 de una superficie K3 proyectiva compleja es llamado no-simpléctico si su acción en el espacio vectorial de las 2-formas holomorfas es no trivial, y es puramente no-simpléctico si tal acción tiene orden n. De [Nik79a, Theorem 0.1] el rango del reticulado trascendental de una superficie K3 con un automorfismo puramente no-simpléctico de orden n es divisible por la función de Euler de n. Esto implica que ϕ(n) ≤ 21 y todos los enteros positivos n 6= 60 con tal propiedad resultan ser los ordenes de automorfismos no-simplécticos [MO98, Main Theorem 3]. Se conoce una clasificación de automorfismos puramente no-simpléctios para todos los ordenes primos [Nik79a, OZ98, OZ11, Vor83, OZ00, Kon92, AS08, AST11], cuando ϕ(n) = 20 [MO98], cuando el automorfismo actúa en el reticulado de Néron-Severi y ϕ(n) es igual al rango del reticulado trascendental [Vor83,Kon92,OZ00,Sch10], para los ordenes 6, 16 [Dil12,ATST16] y 4, 8 [AS15,ATS18] (los últimos contienen clasificaciones parciales). En caso de que el automorfismo tenga orden primo, su reticulado invariante en H2 (X, Z) es un reticulado p-elemental. Esto hace que la clasificación de estos automorfismos sea más fácil, por medio de la teoría de reticulados, ya que los reticulados p-elementales están clasificados. Por otro lado, la clasificación de los automorfismos de orden compuesto es más sutil y se requiere del uso de argumentos geométricos.