Métodos de elementos virtuales para problemas en mecánica de solidos = Virtual element methods for problems in solid mechanics.

Abstract

El objetivo principal de esta tesis doctoral es proponer, analizar, desarrollar, implementar y aplicar varios métodos de elementos virtuales (VEM) conformes en H2 sobre mallas poligonales generales, para resolver diversos problemas de cuarto orden que surgen en mecánica de sólidos, con el propósito de establecer una contribución original en la teoría de los elementos virtuales. En primer lugar, presentamos dos problemas de autovalores para estructuras delgadas, a saber, el problema de vibración y el problema de pandeo de placas modeladas por las ecuaciones de Kirchhoff. En relación con el problema de vibración de placas delgadas, el estudio se centra en desarrollar un método de elementos virtuales C 1 para la aproximación numérica de las frecuencias de vibración y los modos de vibración de las placas de Kirchhoff. Se propone una formulación variacional basada únicamente en el desplazamiento transversal de la placa. Se introduce una discretización conforme de H2 por medio del VEM, el cual es simple en términos de grados de libertad e implementación computacional. Bajo supuestos estándar en el dominio computacional, se establece que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro. Además, se obtienen ´optimas estimaciones del error para las funciones propias y un orden doble para los valores propios. Por otro lado, como segundo trabajo de esta tesis, se desarrolla un método de elemento virtual de alto orden en mallas poligonales, para resolver el problema de pandeo de placas gobernado por las ecuaciones de Kirchhoff. Se introduce una discretización de elemento virtual conforme C 1 de orden arbitraria ≥ 2. Además, se aplica la teoría espectral estándar de operadores compactos para demostrar que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro. Se derivan estimaciones del error de orden óptimas para los modos de pandeo y un orden doble para los coeficientes de pandeo. Posteriormente, introducimos y analizamos un método de elementos virtuales C 1 para resolver un problema no lineal de placas modeladas por las ecuaciones de von K´arm´an. Se propone una formulación variacional continua en H2 asociada a este problema. Luego, se introduce una discretización conforme por medio de elementos virtuales. El método tiene las ventajas de considerar mallas poligonales generales y es simple en términos de implementación computacional. Probamos que el problema discreto está bien planteado para h (letra generalmente elegida para denotar el parámetro de discretización) lo suficientemente pequeño. Además, se obtienen estimaciones de error ´optimas. Finalmente, proponemos y analizamos un método de elementos virtuales, para resolver numéricamente un problema de valores propios no lineal y no auto adjunto, conocido como el problema de valores propios de transmisión. El problema se linealiza al introducir una nueva incógnita (que pertenece a H1 0 ) en el sistema de ecuaciones. Luego, se define una formulación variacional en H2 0 × H1 0 y se caracteriza el espectro del problema a través de la definición de un operador solución, el cual resulta ser no auTo adjunto y compacto, con respecto a la seminorma usual de H2 0 × H1 0 . Se propone una discretización conforme de C 1 × C 0 por medio del VEM. Se emplea la teoría espectral clásica para operadores compactos no auto adjuntos con el objetivo de analizar la aproximación espectral. Se deriva el orden óptimo de convergencia para los valores propios y las funciones propias. Para todos los problemas descritos anteriormente, se presentan varios experimentos numéricos que ilustran el buen desempeño de los métodos propuestos y que confirman el análisis teórico.