Métodos de Galerkin discontinuo para problemas no lineales en física de plasmas = Discontinuous Galerkin methods for non-linear problems in plasma physics.

Abstract

El objetivo de esta tesis es desarrollar discretizaciones de tipo Galerkin discontinuo hibridizable aplicados a problemas elípticos no lineales de la física de plasmas. La complejidad de estos problemas radica en la no linealidad de las incógnitas y sus términos fuentes, así como en el hecho de que las ecuaciones se plantean en dominios no poligonales. Para lidiar con las fronteras curvas se aplica una técnica de transferencia de alto orden para los datos de frontera. Primero, presentamos el análisis de error a priori y a posteriori de un método de Galerkin discontinuo hibridizable de alto orden (HDG) aplicado a un problema elíptico semi-lineal planteado en un dominio no poligonal Ω. En este caso la no linealidad aparece en el término fuente. Aproximamos Ω por un subdominio poligonal Ωh y garantizamos convergencia optima bajo suposiciones menores relacionadas al término fuente no lineal y la distancia entre las fronteras del subdominio poligonal Ωh y el dominio original Ω. Además, usamos un posprocesamiento local no lineal de la incógnita escalar para garantizar un orden adicional de convergencia. Finalmente, proporcionamos un estimador de error a posteriori confiable y localmente eficiente que incluye el error de aproximación entre los datos de la frontera original y artificial. Luego, extendemos el análisis anterior para una clase de problemas de valores de frontera elípticos no lineales planteados en dominios curvos, donde tanto el término fuente como el coeficiente de difusión son no lineales. La no linealidad del coeficiente de difusión puede ser presentada mediante una función escalar o una función vectorial. Por lo tanto, dividimos este análisis en dos casos: En el primero, consideramos que el coeficiente de difusión no lineal depende de la solución, mientras que para el segundo caso, dicho coeficiente depende del gradiente de la solución. Mostramos también que bajo hipótesis no restrictivas sobre el término fuente y el dominio computacional, los sistemas discretos, para ambos casos, están bien definidos. Además, proporcionamos estimaciones de error a priori que muestran que la solución discreta tendrá un orden óptimo de convergencia siempre que la distancia entre la frontera curva y la frontera computacional permanezca con el mismo orden de magnitud que el parámetro de la malla. Finalmente, proponemos una formulación que combina el método HDG con método de elementos de frontera ( conocido com BEM por sus siglas en inglés) utilizados para un problema más general proveniente de física de plasmas. En ésta situación se desconoce la ubicación del plasma y es necesario resolver la condición de equilibrio en el semiplano para determinar tanto el flujo como la región de confinamiento. El método BEM es ideal para trabajar en dominios no acotados, ya que el enfoque FEM necesitaría un número infinito de elementos para cubrir el dominio.