Resumen:
El objetivo principal de esta tesis es proponer, analizar y testear modelos matemáticos y
computacionales eficientes a través de los cuales poder localizar actividad cerebral a partir de
mediciones de los campos eléctricos y magnéticos en la super cie de la cabeza. Estas mediciones
se pueden obtener a través de un electroencefalograma y un magnetoencefalograma. En términos
matemáticos, esta tesis se centra en resolver un problema inverso.
En primer lugar se estudia el problema inverso usando como modelo las ecuaciones de corrientes inducidas. Igual que para el sistema completo de ecuaciones de Maxwell, se demuestra
que una fuente de corriente volumétrica no puede ser identificada por el conocimiento de las
componentes tangenciales de los campos electromagnéticos sobre la frontera, y se caracteriza el
espacio de las fuentes no radiantes. Por otro lado, se prueba que el problema inverso tiene una
única solución si la fuente está soportada en la frontera de un subdominio o si es la suma de un
número nito de dipolos. También este trabajo se enfoca en la aplicabilidad de estos resultados
para la localización de la actividad cerebral a partir de las mediciones que se obtienen mediante
la electroencefalografía y la magnetoencefalografía.
Posteriormente, se analiza el problema electrostático con fuente de corriente dipolar. Este es
un problema singular, ya que tal modelo considera derivadas de primer orden de una distribución
delta de Dirac. Su solución pertenece a Lp, con 1 <= p < 3/2 en el caso tridimensional y con
1 <= p < 2 en el caso bidimensional. Se consideran la aproximación numérica del problema
directo a través de elementos nitos lineales a trozos y continuos. Se prueba una estima a priori
del error en norma Lp. Además, se propone un estimador de error a posteriori de tipo residual.
Se demuestra que tal estimador es confiable y eficiente. Por último, se utiliza este estimador
para guiar un procedimiento adaptativo, el cual experimentalmente muestra un orden óptimo
de convergencia.