Elementos finitos con divergencia nula en dominios con topología general y aplicaciones = Divergence-free finite elements in general topological domains and applications.

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es extender al alto orden algunas técnicas de construcción de bases de los espacios de elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia nula, las cuales son conocidas en el caso de grado uno. Conocer una base del subespacio de funciones con divergencia nula es una alternativa conveniente a la técnica usual que usa multiplicadores de Lagrange. La desventaja de usar multiplicadores de Lagrange es que se introduce una nueva incógnita que hay que discretizar dando lugar a un sistema linear más grande con una matriz que no es simétrica definida positiva incluso cuando que la forma bilineal asociada a la formulación variacional del problema en el espacio con restricciones es simétrica y coerciva. En primer lugar proponemos y analizamos un algoritmo eficiente para la construcción de una base del espacio de elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia nula basado en técnicas de grafo. El punto clave es notar que con grados de libertad usuales para los campos en el espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas de grado r + 1 y también para los elementos del espacio de las funciones polinomiales a trozo de grado r ≥ 0, la matriz asociada al operador divergencia es la matriz de incidencia de un grafo particular orientado, conexo y sin auto-bucles. Por medio de la elección de un árbol generador de este grafo, es posible identificar una submatriz cuadrada invertible de la matriz de divergencia y con esta matriz invertible es fácil calcular los momentos de un campo en el espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas con divergencia asignada. Este enfoque extiende a los elementos finitos de alto orden el método introducido por Alotto y Perugia en [10] para los elementos finitos de grado uno, por otra parte, los métodos que involucran al árbol generador de un grafo conexo se remontan a Kirchhoff. El enfoque analizado es utilizado para construir una base del espacio de los elementos finitos de Raviart–Thomas a divergencia nula. Los experimentos numéricos muestran que la eficiencia del algoritmo no depende de la topología del dominio ni tampoco del grado polinomial.