Métodos de elementos finitos mixtos para problemas acoplados en mecánica de fluidos Mixed finite element methods for coupled problems in fluid mechanics

Abstract

El objetivo principal de esta disertación es desarrollar y aplicar diversas técnicas matemáticas y numéricas, basadas en métodos de elementos finitos mixtos y extrategias de punto fijo, con el propósito de establecer la solubilidad de problemas acoplados que surgen dentro del contexto de la mecánica de fluidos y que se encuentran con frecuencia en procesos de transporte a través de flujos viscosos en medios porosos. En primer lugar, se deriva un método de elementos finitos mixto–primal aumentado para un problema acoplado de flujo viscoso con transporte. El modelo consiste en el acoplamiento de un problema de convección-difusión escalar no lineal con el problema de Stokes (escrito en términos del pseudoesfuerzo de Cauchy) donde la viscosidad depende de la distribución de la solución a la ecuación de transporte, la cual a su vez, exhibe un término de difusión que depende de la norma del gradiente de esa solución. Una de las principales dificultades para obtener aproximaciones numéricas de un acoplamiento de este tipo se debe a las no linealidades presentes en las ecuaciones de campo. Un resultado novedoso en este trabajo es la derivación de una formulación variacional para este acoplamiento mediante la introducción de un enfoque mixto aumentado para el flujo del fluido acoplado con un método primal para el problema de transporte. La solubilidad de dicha formulación se establece combinando argumentos de punto fijo y estimaciones adecuadas que surgen a partir de la conexión entre ciertos supuestos de regularidad y los teoremas de inclusión y compacidad de Sobolev y Rellich- Kondrachov, respectivamente. Como consecuencia de ello, la existencia de solución de los esquemas continuo y discreto se concluye aplicando los teoremas clásicos de punto fijo de Schauder y Brouwer, respectivamente. Para el esquema de Galerkin correspondiente se utilizan espacios de Raviart-Thomas de orden k para el cálculo del pseudo-esfuerzo de Cauchy, y polinomios continuos a trozos de grado k +1 para la velocidad y el campo escalar. Luego, bajo datos suficientemente pequeños y aplicando desigualdades adecuadas de tipo Strang, se proporcionan cotas de error a priori óptimas. En segundo lugar, se desarrolla un análisis de error a posteriori para el esquema de Galerkin asociado. Aquí se derivan dos estimadores de error a posteriori residuales para ese esquema, los cuales son confiables y eficientes. El análisis de confiabilidad de los estimadores propuestos se basa principalmente en el uso de elipticidades y condiciones inf-sup adecuadas junto con una descomposición de Helmholtz, y las propiedades de aproximación locales del operador de interpolación de Clément y del operador de Raviart-Thomas. Por otra parte, las principales herramientas empleadas para mostrar sus eficiencias incluyen desigualdades inversas adecuadas y la técnica de localización que se basa en funciones burbujas sobre triángulos y lados. Luego, la metodología anterior es extendida para establecer el análisis de error a priori y a posteriori de un método de elementos finitos mixto–primal para un sistema de sedimentación-consolidación, donde los patrones de flujos se rigen por las ecuaciones de Brinkman con viscosidad variable y el coeficiente de difusión en la ecuación de transporte depende solamente de la concentración. En consecuencia, se derivan estimaciones óptimas de error a priori para el esquema de Galerkin asociado, junto con dos estimadores de error a posteriori residuales, confiables y eficientes, lo cual constituye una de las principales contribuciones de este trabajo. Aquí el pseudo-esfuerzo de Cauchy es aproximado con espacios de Raviart-Thomas de orden k, mientras que la velocidad y la concentración son calculadas usando polinomios continuos a trozos de grado k + 1. Finalmente, se cierra esta tesis con el desarrollo de un método de elementos finitos completamente mixto basado en vorticidad para aproximar los patrones de flujo de un fluido viscoso dentro de un medio altamente permeable, descrito por las ecuaciones de Brinkman (escritas en términos de la vorticidad, velocidad y la presión del fluido), y su interacción con un flujo en un medio poroso gobernado por la ley de Darcy. Los dos dominios están separados por una interfaz esencialmente fija, a través de la cual el flujo pasa de viscoso a un régimen no viscoso. A su vez, se consideran condiciones de frontera y de transmisión adecuadas sobre las velocidades, las presiones y la vorticidad. En este trabajo se introduce una formulación variacional mixta, la cual conduce a la incorporación de un multiplicador de Lagrange, el cual impone la continuidad de la presión a través de la interfaz. Despúes, la teoría clásica de Babuška-Brezzi se aplica de tal forma que las condiciones inf-sup continuas de la forma bilineal principal se obtienen empleando la técnica conocida como T-coercividad, lo cual nos permite garantizar el buen planteamiento de la formulación continua. Luego, los argumentos mencionados anteriormente son adaptados al caso discreto para mostrar que, bajo supuestos adecuados sobre los subespacios discretos involucrados, el esquema de Galerkin correspondiente está bien puesto. Aquí se utiliza una familia de elementos finitos donde el curl del subespacio que aproxima a la vorticidad debe estar contenido en el espacio donde vive la velocidad discreta del fluido, y por lo tanto una elección factible consiste en elementos finitos de Raviart-Thomas y de Nédélec para las velocidades y la vorticidad, respectivamente. A su vez, las presiones y el multiplicador de Lagrange son aproximados, respectivamente, por polinomios continuos y discontinuos a trozos. Posteriormente, la formulación mixta es modificada incorporando un término de tipo residual que surge de la ecuación de momentum de Brinkman, y se muestra que el esquema aumentado resultante, el cual conduce a una forma bilineal global fuertemente elíptica, no requiere la restricción mencionada anteriormente sobre el espacio que aproxima la vorticidad, con lo cual cualquier subespacio de elementos finitos del espacio producto continuo puede ser aplicado. Para todas las situaciones descritas anteriormente se proporcionan varios experimentos numéricos que ilustran el desempeño satisfactorio de los métodos propuestos, y que confirman los resultados teóricos de convergencia así como la confiabilidad y la eficiencia de los estimadores de error a posteriori derivados. Estos ejemplos también sirven para obtener información sobre el comportamiento de los fenómenos físicos subyacentes de interés.