On deformations of T-varieties

Abstract

El principal concepto a estudiarse en la presente tesis es el de T-variedad: una variedad algebraica normal X de dimensión n definida sobre un campo K algebraicamente cerrado y de característica cero, junto con una acción efectiva del toro algebraico (K )m sobre X (ver Definición 2.0.2). El número n- m es la complejidad de la T-variedad X y las T- variedades de complejidad cero se llaman variedades teóoricas. Las variedades teóricas fueron estudiadas por primera vez por M. Demazure en [9] en 1970, en donde se muestra que estas pueden describirse de manera puramente combinatorial usando el lenguaje de abanico de conos: una cierta colección de conos poliedrales racionales en un espacio vectorial racional (ver Definición 1.1.8). En 2006, K. Altmann, J. Hausen y H. S uss generalizan esta idea a T-variedades en [4] con la introducción del lenguaje de abanicos divisoriales (ver Definición 2.2.1). Por otro lado, las T-variedades de complejidad pueden describirse por medio de su anillo de Cox como muestra D. Cox en [7] y J. Hausen, H. S uss en [12]. Los anillos de Cox son anillos de coordenadas homogéneas globales para variedades algebraicas que permiten describir la variedad original como un cociente categórico de un conjunto cuasiafín por la acción de un cierto grupo abeliano (ver Sección 1.2.4 o [2] para una explicación más completa). El principal n de esta tesis es hacer uso de ambos lenguajes, abanicos divisoriales y anillos de Cox, para estudiar deformaciones de variedades teóricas y variedades de complejidad uno. En este aspecto, se ha logrado generalizar la sucesión de Euler usual para variedades teóricas. Como consecuencia de esto, se puede describir cuáles T-superficies suaves de complejidad uno son infinitesimalmente rígidas. Por otro lado, con el Teorema 4.2.1 describimos familias de deformaci on para variedades t oricas usando el lenguaje de anillos de Cox, de manera similar a como lo hace A. Mavlyutov en [24], demostrando as la equivalencia entre la construcci on de A. Mavlyutov y la de N. Ilten con R. Vollmert. Como ultimo resultado, describimos puntos triples racionales en super cies con acci on de K calculando sus anillos de Cox y la matriz P de la construcci on de Cox. Esto se ha hecho con el prop osito de construir deformaciones de dichas singularidades en un proyecto futuro, adaptando nuestro resultado anterior al caso de variedades singulares.