Métodos de elementos virtuales para problemas espectrales Virtual element method for Spectral problem

Abstract

El objetivo principal de esta tesis doctoral es el análisis matemático y numérico de la aplicación de los métodos de elementos virtuales en mallas con polígonos generales, a la solución de diversos problemas de valores propios y de flexión de placas moderadamente gruesas, con el propósito de obtener contribuciones originales y enriquecer el conocimiento existente en el área de los métodos de elementos virtuales. En particular se consideran el problema de valores propios de Steklov y el de vibraciones acústicas. En el primer caso también se propone un estimador a posteriori del error y un proceso adaptativo basado en este estimador. Por otra parte, en esta tesis, también se propone y estudia un método de elementos virtuales para resolver el problema de flexión de placas modeladas por las ecuaciones de Reissner-Mindlin. En particular se propone un método de elementos virtuales para una formulación escrita en términos de las variables de la deformación de corte y la deflexión y se demuestra que no sufre de bloqueo. En lo que se refiere al problema de valores propios de Steklov, el estudio se centra en la desarrollar un método de elementos virtuales apropiado para el estudio de la aproximación numérica de los autovalores del problema. Para llevar a cabo este análisis, se propuso una discretización por medio de los elementos virtuales que se presentan en [L. Beirão da Veiga, et al., Basic principles of virtual element methods, Models Methods Appl. Sci. 23 (2013) 199-214]. Bajo suposiciones estándar en el dominio computacional, se establece que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro, y se demuestra que las estimaciones del error son de orden óptimo para las funciones propias y los valores propios. Adicionalmente, en esta primera parte, se demuestran estimaciones de un mejor orden para el cálculo del error de aproximación de de las funciones propias en la frontera libre, que en algunos problemas de Steklov (por ejemplo, el calculo de los modos de “sloshing”) son una cantidad de gran interés. Todas las estimaciones obtenidas en el análisis teórico, son corroboradas mediante ejemplos numéricos. En la segunda parte se propone y desarrolla el análisis matemático y numérico de un estimador de error a posteriori del tipo residual para la aproximación por elementos virtuales del problema de valores propios de Steklov en dos dimensiones, aplicado a mallas poligonales muy generales. Dado que, los flujos normales de la solución virtual presentada en la primera parte no se pueden calcular explícitamente, estos son reemplazados por una proyección adecuada de ellos. Como consecuencia de esta sustitución, aparecen nuevos términos adicionales en el estimador, que representan la “inconsistencia virtual” de los métodos de elementos virtuales. De este modo se obtiene un estimador del error a posteriori de tipo residual, que es totalmente calculable, ya que depende únicamente de las cantidades disponibles a partir de la solución virtual (sus grados de libertad y su proyección elíptica, local, sobre los polinomios), se establece que el estimador es equivalente al error salvo términos de orden superior. Finalmente, el estimador del error se utiliza para guiar el refinamiento de mallas adaptativas en una serie de problemas test, con diferentes regularidades de la solución exacta. En la tercera parte de esta tesis se aborda el análisis matemático y numérico de la aproximación por elementos virtuales, para el problema de vibraciones acústicas. Para ello, se considera una formulación variacional del problema espectral en términos del desplazamiento del fluido. Inspirados en [L. Beirão da Veiga, F. Brezzi, L. D. Marini and A. Russo, Mixed virtual element methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes, ESAIM Math. Model. Numer. Anal.(2016)], se propone una discretización virtual de H(div) con rotor nulo. Bajo suposiciones estándar del dominio, se establece que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro y se prueba que las estimaciones del error son óptimas para las funciones propias y los valores propios. Con este fin, se demuestran propiedades de aproximaci ón para los elementos virtuales propuestos. Por último se presentan experimentos numéricos que corroboran los resultados teóricos obtenidos. Finalmente, se estudia un método de elementos virtuales para el problema de deflexión de placas de Reissner-Mindlin. Con este objetivo, se comienza con una formulación variacional del problema escrito en términos de las variables de deformación de corte y deflexión, presentádos en [L. Beirão da Veiga, et al., A locking-free model for Reissner-Mindlin plates: analysis and isogeometric implementation via NURBS and triangular NURPS, Models Methods Appl. Sci. 25(8) (2015) 1519–1551]. Se propone una formulación discreta conforme en [H1( )]2 × H2( ) para la deformación de corte y deflexión, respectivamente. Una característica distintiva de este enfoque es la aproximación directa de la deformación de corte. Por otra parte, las rotaciones se obtienen con un simple tratamiento de post-proceso de la deformación corte y deflexión. Se prueba que las estimaciones del error son óptimas para todas las variables involucradas (en las normas naturales de la formulación adoptada), con constantes independientes del espesor de la placa. Por último, se presenta experimentos numéricos que permiten evaluar el desempeño del método, mostrando que es convergente y libre de bloqueo como lo predice la teoría.