Métodos numéricos a variación acotada para un sistema de ecuaciones de tipo Lifshitz-Slyozov con aplicaciones a modelos de polímeros

Abstract

El presente trabajo está dedicado al estudio de un esquema numérico que resuelve un sistema de ecuaciones de tipo Lifshitz-Slyozov. Dicho esquema entrega soluciones aproximadas que, eventualmente, convergen a la solución exacta del sistema de ecuaciones a medida que la malla de discretización del dominio se hace más fina. Esto último se demuestra utilizando el concepto de varación acotada que permite establecer argumentos de compacidad. Las ecuaciones de Lifshitz-Slyozov originales se propusieron para modelar la precipitación de soluciones sólidas sobresaturadas. Sin embargo, aquí se utiliza una variación de éstas para describir el fenómeno de sorción, entendida como una reacción química reversible en la cual iones de metal se adhieren a la superficie de un polímero o se desprenden de ésta. El capítulo 1 muestra una introducción que permite conocer el contexto de las ecuaciones. Para ello, se inicia con una motivación que explica los procesos de separación de sustancias y su importancia, siendo la sorción un ejemplo de éstos. Además, se explica en qué consiste la sorción y cuáles son sus cantidades involucradas. Ya introducido el tema, en el capítulo 2 se plantean las ecuaciones de interés, las cuales se obtienen a partir de las ecuaciones de Lifshitz-Slyozov. Por comodidad de notación y de resolución computacional, se hace necesario reescalar el problema para que las variables y el dominio utilizado tengan una forma que facilite tanto el desarrollo del esquema numérico como el planteamiento de las ecuaciones. Se presenta, además, la formulación débil que es el verdadero problema que pretende resolver el método numérico propuesto posteriormente. El capítulo 3 describe el esquema numérico en forma detallada, definiendo el dominio discreto sobre el cual se trabaja y un sistema de ecuaciones discreto que encuentra la solución aproximada del problema débil. Este sistema de ecuaciones incluye un esquema de volúmenes finitos. Se expone de manera formal el teorema que garantiza la convergencia del esquema, es decir, aquel que garantiza que la solución numérica tiende a la solución exacta del problema débil cuando la malla que discretiza al dominio tiende a hacerse más fina. Una vez presentado el teorema de convergencia del esquema, el capítulo 4 presenta diversos resultados que son necesarios para demostrar dicho teorema. Se demuestra entonces la estabilidad L1 del método y una estimación de la variación total, junto a propiedades que contribuyen tanto a las demostraciones de este mismo capítulo como a algunos pasos del xii Resumen xiii desarrollo del capítulo siguiente. La demostración del teorema de convergencia se concreta en el capítulo 5, en el cual primero se establecen resultados de compacidad con ayuda del Teorema de Arzelà-Ascoli y utilizando el hecho de que las soluciones aproximadas poseen variación total acotada. Se prueba, entonces, que la solución del método numérico converge a un elemento, para luego demostrar que dicho elemento es solución del problema débil. Esto último corresponde a la demostración del teorema planteado al final del capítulo 3, lo cual valida el método propuesto. Por último, el capítulo 6 muestra los resultados obtenidos al resolver el esquema numérico a través de cuatro ejemplos distintos que incluyen diversas gráficas que dejan en evidencia el comportamiento asintótico de las soluciones a lo largo del tiempo.