Métodos de Galerkin discontinuos en mecánica del medio continuo

Abstract

Esta tesis aborda dos temas principales. Primero, aplicamos y analizamos un método de Galerkin Discontinuo Hybridizado (HDG, por sus siglas en inglés) a dos problemas interesantes en el contexto de la Mecánica de Fluidos, que son el Problema de Stokes y las Ecuaciones de Oseen. La novedad de esta parte es que se consideran dominios curvos en vez de dominios poliédricos. El análisis está basado en aproximar el dominio curvo por un subdominio poliédrico en el que se puede calcular una solución numérica. Para obtener una aproximación de alto orden del dato Dirichlet en la frontera computacional, empleamos una técnica de transferencia basada en integrar la aproximación del gradiente de la velocidad. Además, primero buscamos una presión discreta que tenga media nula en el dominio computacional y la condición de media nula en el dominio completo es recuperada a través de un post–proceso. Dado que los problemas en los que estamos interesados son modelados por conjuntos de ecuaciones similares (sólo hay un término adicional en las Ecuaciones de Oseen), el tratamiento de la condición de frontera y de la presión es el mismo para ambos problemas. Demostramos que el método entrega órdenes de convergencia óptimos para las aproximaciones de la presión, velocidad y su gradiente, esto es, orden hk+1 si los espacios discretos locales se construyen usando polinomios de grado k y el tamaño de la malla es h. Se presentan ensayos numéricos que validan el método. En segundo lugar, presentamos también un análisis de dispersión de métodos HDG. Considerando el sistema de Helmholtz, cuantificamos las diferencias entre los números de onda exacto y aproximado. En particular, obtenemos una expansión analítica para el error del número de onda para el método Single Face HDG (SFH) del orden más bajo. El resultado novedoso de esta parte es que la expansión muestra que el método SFH entrega órdenes de convergencia del número de onda que son comparables a las del método mixto Raviart–Thomas híbrido (HRT). Además, el mismo comportamiento se observa en ensayos numéricos para los casos de órdenes más altos.