Solano Palma, ManuelCamaño Valenzuela, Jessika PamelaBermúdez Montiel, Isaac2025-01-142025-01-142024https://repositorio.udec.cl/handle/11594/12305Tesis presentada para optar al grado académico de Doctor en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería MatemáticaThe aim of this thesis is to develop continuous and discontinuous Galerkin-type discretizations applied to interface problems modelled by systems of partial differential equations (PDEs). The com plexity of these problems lies in the unknowns and their associated source terms arising from coupling interfaces, as well as the non-linearity of the equations. First, we consider a coupled Navier–Stokes/transport system inspired by the modeling of a reverse osmosis effect in water desalination processes when considering feed and permeate channels coupled through a semi-permeate membrane. The variational formulation consists of a set of equations where the velocities and concentrations, along with tensors and vector fields introduced as auxiliary unknowns, and two Lagrange multipliers, are the main unknowns of the system. The latter are introduced to deal with the trace of functions that do not have enough regularity to be restricted to the boundary. In addition, the pressures can be recovered afterwards by a postprocessing formula. As a consequence, we obtain a nonlinear Banach spaces-based mixed formulation, which has a perturbed saddle point struc ture. We analyze the continuous and discrete solvability of this problem by linearizing the perturbation term and applying the classical Banach fixed point theorem along with the Banach–Nečas–Babuška result. Regarding the discrete scheme, feasible choices of finite element subspaces that can be used include Raviart–Thomas spaces for the auxiliary tensor and vector unknowns, piecewise polynomials for the velocities and concentrations, and continuous polynomial space of lowest order for the traces, yielding stable discrete schemes. An optimal a priori error estimate is derived, and numerical results illustrating both, the performance of the scheme confirming the theoretical rates of convergence, and its applicability, are reported. Once we have established the theoretical foundations to ensure the solvability of the variational scheme, we take advantage of them to numerically address different approaches closely related to reverse osmosis processes by considering coupled Brinkman–Forchheimer/transport equations in addition to Navier–Stokes/transport equations. The cases of a single channel and coupled feed/permeate channels are covered. Thus, through diverse numerical simulations and a variety of configurations, we illustrate the capability of the method to accurately capture the behavior of saline water when passing through membrane-based reverse osmosis desalination channels. Onthe other hand, we present and analyze a hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for coupling Stokes and Darcy equations, whose domains are discretized by two independent triangulations. This causes non-conformity at the intersection of the subdomains or originates a gap (unmeshed region) between them. In order to properly couple the two different discretizations and obtain a high order scheme, we propose suitable transmission conditions based on mass conservation, equilibrium of normal forces, and the Beavers–Joseph–Saffman law. Since the meshes do not necessarily coincide at the interface, we use the Transfer Path Method (TPM) to tie them. We establish the well-posedness of the method and provide error estimates where the influences of the non-conformity and the gap are explicit in the constants. Finally, numerical experiments that illustrate the performance of the method are shown.El objetivo de esta tesis es desarrollar discretizaciones de tipo Galerkin continuo y discontinuo aplicadas a problemas de interfaz modelados por sistemas de ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). La complejidad de estos problemas radica en las incógnitas y sus términos fuente asociados, que surgen del acoplamiento en las interfaces, así como en la no linealidad de las ecuaciones. Primero, consideramos un sistema acoplado Navier–Stokes/transporte inspirado en el modelamiento de un efecto de ósmosis inversa en procesos de desalinización de agua al considerar canales de alimen tación y permeado acoplados a través de una membrana semipermeable. La formulación variacional consiste en un conjunto de ecuaciones donde las velocidades y concentraciones, junto con tensores y campos vectoriales introducidos como incógnitas auxiliares, y dos multiplicadores de Lagrange, son las incógnitas principales del sistema. Estos últimos se introducen para tratar con las trazas de funciones que no tienen suficiente regularidad para restringirse en la frontera. Además, las presiones pueden recuperarse posteriormente mediante una fórmula de postprocesamiento. Como consecuencia, obtene mos una formulación mixta no lineal basada en espacios de Banach, que presenta una estructura de punto silla perturbada. Analizamos la solvencia continua y discreta de este problema linearizando el término de perturbación y aplicando el teorema clásico de punto fijo de Banach junto con el resultado de Banach–Nečas–Babuška. En cuanto al esquema discreto, las opciones factibles de subespacios de elementos finitos que pueden utilizarse incluyen espacios Raviart–Thomas para el tensor auxiliar y las incógnitas vectoriales, polinomios a trozos para las velocidades y las concentraciones, y el espacio polinómico continuo de orden inferior para las trazas, lo que da lugar a esquemas discretos estables. Se deriva una estimación óptima del error a priori y se presentan resultados numéricos que ilustran tanto el rendimiento del esquema, confirmando las tasas teóricas de convergencia, como su aplicabilidad. Una vez establecidos los fundamentos teóricos para asegurar la solvencia del esquema variacional, los aprovechamos para abordar numéricamente diferentes enfoques muy relacionados con los procesos de ósmosis inversa considerando las ecuaciones acopladas de Brinkman–Forchheimer/transporte ade más de las ecuaciones de Navier–Stokes/transporte. Se cubren los casos de un solo canal y de canales acoplados de alimentación/permeado. Así, a través de diversas simulaciones numéricas y una variedad de configuraciones, ilustramos la capacidad del método para capturar con precisión el comportamien to del agua salina cuando pasa a través de canales de desalinización de ósmosis inversa basados en membranas. Por otro lado, presentamos y analizamos un método discontinuo de Galerkin hibridizable (HDG) para el acoplamiento de las ecuaciones de Stokes y Darcy, cuyos dominios se discretizan mediante dos triangulaciones independientes. Esto provoca no conformidad en la intersección de los subdominios o bien origina un espacio vacío (región no mallada) entre ellos. Para acoplar adecuadamente las dos discretizaciones diferentes y obtener un esquema de alto orden, proponemos condiciones de transmisión adecuadas basadas en la conservación de masa, el equilibrio de fuerzas normales y la ley de Beavers Joseph–Saffman. Dado que las mallas no coinciden necesariamente en la interfaz, utilizamos el Transfer Path Method (TPM) para unirlas. Establecemos el buen planteamiento del método y proporcionamos estimaciones de error en las que las influencias de la no conformidad y la brecha están explícitas en las constantes. Por último, se muestran experimentos numéricos que ilustran el desempeño del método.enCC BY-NC-ND 4.0 DEED Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 InternationalConversión de aguas salinasModelos matemáticosRecursos hidrológicosThesisAGUA limpia y saneamiento