Gatica Pérez, GabrielCaucao, SergioOrtega Ponce, Juan Paulo2024-11-182024-11-182024https://doi.org/10.29393/TDUdeC-59OJ1MF59https://repositorio.udec.cl/handle/11594/9471Tesis presentada para optar al grado de Doctor en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería MatemáticaThe goal of this thesis is to develop, analyze, and implement new mixed finite element methods for coupled and decoupled problems that arise in the context of fluid mechanics. In particular, we focus on models describing the behavior of a fluid through porous media. Firstly, an a priori error analysis of a fully-mixed finite element method based on Banach spaces for a nonlinear coupled problem arising from the interaction between the concentration and temperature of a solute immersed in a fluid moving through a porous medium is developed. The model consists of the coupling of the stationary Brinkman-Forchheimer equations with a double diffusion phenomenon. For the mathematical analysis, a nonlinear mixed formulation for the Brinkman-Forchheimer equation is proposed, where in addition to the velocity, the velocity gradient and the pseudo-stress tensor are introduced as new unknowns. In turn, a dual-mixed formulation for the double diffusion equations is adopted using temperature/concentration gradients and Bernoulli-type vectors as additional unknowns. The solvability of this formulation is established by combining fixed-point arguments, classical results on nonlinear monotone operators, Babuška-Brezzi’s theory in Banach spaces, assumptions of sufficiently small data, and Banach’s fixed-point theorem. In particular, Raviart-Thomas spaces of order k ≥ 0 are used to approximate the pseudo-stress tensor and Bernoulli vectors, and piecewise discontinuous polynomials of degree k for the velocity, temperature, concentration fields, and their corresponding gradients. Now, an a posteriori error and computational adaptivity analysis is performed for the fully-mixed variational formulation developed for the coupling of Brinkman–Forchheimer and double-diffusion equa- tions. Here, a reliable and efficient residual-based a posteriori error estimator is derived. The reliability analysis of the proposed estimator is mainly based on the strong monotonicity and inf-sup conditions of the operators involved, along with an appropriate assumption on the data, a stable Helmholtz decom- position in non-standard Banach spaces, and local approximation properties of the Raviart-Thomas and Clément interpolants. In turn, the efficiency estimation is a consequence of standard arguments like inverse inequalities, bubble function-based localization technique, and other results available in the literature. Finally, a mixed finite element method for the nonlinear problem given by the stationary convec- tive Brinkman–Forchheimer equations with variable porosity is studied. Here, the pseudostress and the gradient of the porosity times the velocity are incorporated as additional unknowns. As a consequence, a three-field mixed variational formulation based on Banach spaces is obtained, where the aforemen- tioned variables are the main unknowns of the system along with the velocity. The resulting mixed scheme is then equivalently written as a fixed-point equation, so that Banach’s well-known theorem, combined with classical results on nonlinear monotone operators and a hypothesis of sufficiently small data, is applied to demonstrate the unique solvability of the continuous and discrete systems. For all the problems described above, several numerical experiments are provided that illustrate the good performance of the proposed methods, and that confirm the theoretical results of convergence as well as the reliability and efficiency of the respective a posteriori error estimators.El objetivo principal de esta tesis es desarrollar, analizar e implementar nuevos métodos de elementos finitos mixtos para problemas acoplados y no acoplados que surgen en el contexto de la mecánica de fluidos. En particular, nos enfocamos en modelos que describen el comportamiento de un fluido a través de medios porosos. En primer lugar, se desarrolla un análisis de error a priori de un método finitos de elementos com- pletamente mixto basado en espacios de Banach para un problema acoplado no lineal que surge de la interacción entre la concentración y la temperatura de un soluto que está inmerso en un fluido que se mueve a través de un medio poroso. El modelo consiste en el acoplamiento de las ecuaciones esta- cionarias de Brinkman–Forchheimer con un fenómeno de doble difusión. Para el análisis matemático, se propone una formulación mixta no lineal para la ecuación de Brinkman–Forchheimer, en donde además de la velocidad se introducen como nuevas incógnitas el gradiente de velocidad y el tensor de pseudo-esfuerzo. A su vez, se adopta una formulación dual-mixta para las ecuaciones de doble difusión haciendo uso de los gradientes de temperatura/concentración y vectores tipo Bernoulli como incógnitas adicionales. La solubilidad de dicha formulación se establece combinando argumentos de punto fijo, resultados clásicos sobre operadores monótonos no lineales, la teoría de Babuška-Brezzi en espacios de Banach, supuestos de datos suficientemente pequeños y el teorema de punto fijo de Banach. En particular, empleamos espacios de Raviart-Thomas de orden k ≥ 0 para aproximar el tensor de pseudo-esfuerzo y los vectores de Bernoulli, y polinomios discontinuos por partes de grado k para el campo de velocidad, temperatura, concentración y sus correspondientes gradientes. Luego, se realiza un análisis de error a posteriori y de adaptabilidad computacional para la for- mulación variacional completamente mixta desarrollada para el acoplamiento de las ecuaciones de Brinkman–Forchheimer y de doble difusión. Aquí, se deriva un estimador de error a posteriori basado en residuos, confiable y eficiente. El análisis de confiabilidad del estimador propuesto se basa princi- palmente en el uso de las condiciones de Monotonía fuerte e inf-sup de los operadores involucrados, junto con un supuesto adecuado sobre los datos, una descomposición de Helmholtz estable en espacios de Banach no estándar y propiedades de aproximación local de los interpolantes de Raviart-Thomas y Clément. A su vez, la estimación de eficiencia es consecuencia de argumentos estándares como las desigualdades inversas, la técnica de localización basada en funciones de burbuja, y otros resultados disponibles en la literatura. Finalmente, se estudia un método de elementos finitos mixtos para el problema no lineal dado por las ecuaciones estacionarias de Brinkman–Forchheimer convectivas con porosidad variable. Aquí, incorporamos el pseudo-esfuerzo y el gradiente de la porosidad por la velocidad, como incógnitas adicionales. Como consecuencia, obtenemos una formulación variacional mixta basada en espacios de Banach de tres campos, donde las variables mencionadas son las incógnitas principales del sistema junto con la velocidad. El esquema mixto resultante se escribe entonces de forma equivalente como una ecuación de punto fijo, de modo que el conocido teorema de Banach, combinado con resultados clásicos sobre operadores no lineales monótonos y una hipótesis de datos suficientemente pequeños, se aplican para demostrar la solubilidad de los sistemas continuo y discreto. Para todos los problemas descritos anteriormente se proporcionan varios experimentos numéricos que ilustran el buen desempeño de los métodos propuestos, y que confirman los resultados teóricos de convergencia así como de confiabilidad y eficiencia de los estimadores de error a posteriori respectivos.enCC BY-NC-ND 4.0 DEED Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 InternationalMecánica de fluidos⁠Método de elementos finitos Matemáticas⁠Método de elementos finitosThesis