Banach space-based mixed finite element methods for coupled diffusion problems and related models.

Abstract

In this thesis, new Banach spaces-based mixed finite element methods are explored to address coupled diffusion problems and related models in continuous mechanics. The focus is on numerical analysis and simulation of the stress-assisted diffusion problem and the chemotaxis-Navier-Stokes problem. First, we introduce and analyze mixed variational formulations based on Banach spaces for the nearly incompressible linear elasticity problem and the Stokes problem. This approach is motivated by the similarities between the variational formulations of these models with respect to those obtained for the stress-assisted diffusion problem, which will be subsequently studied. To avoid the imposition of weak symmetry on the Cauchy stress tensor, we reformulate the problems in terms of the pseudostress tensor. We apply integration by parts formulas appropriate for the Banach spaces used, resulting in continuous schemes for both models. We employ the Babuška-Brezzi theory in Banach spaces and generalize classic results to establish that the obtained formulations are well-posed within these spaces. Next, we address the system of partial differential equations describing the diffusion of a solute in an elastic material. The elasticity model, whose momentum equation includes a source term dependent on diffusion, is reformulated using the non-symmetric pseudostress tensor and the deformation of the solid as unknowns of the mixed scheme. The diffusion equation, with the diffusivity function and source term depending on the stress and strain tensor of the solid, respectively, is approached using a primal formulation with concentration as the unknown. Dirichlet boundary conditions are considered for both equations. As a natural continuation of the above, a fully-mixed approach based on Banach spaces is proposed and analyzed, generating a new finite element method for the coupled stress-assisted diffusion problem to be solved numerically. We introduce two mixed schemes for the diffusion problem, using diffusion flux as an additional variable, and for the second, we also consider the concentration gradient as an unknown.Finally, we introduce and analyze a fully-mixed method based on Banach spaces to numerically solve the stationary chemotaxis-Navier-Stokes problem. This coupled and nonlinear model represents the biological process driven by cellular movements induced by an external or internal chemical signal within an incompressible fluid. In addition to the velocity and pressure of the fluid, the velocity gradient and the Bernoulli-type stress tensor are introduced as additional variables, allowing the fluid pressure to be eliminated from the equations and calculated by post-processing after solving the system. In turn, in addition to the cellular density and the concentration of the chemical signal, the pseudostresses associated with these last variables and their corresponding gradients are introduced as additional unknowns. The resulting continuous formulation, set in a Banach framework, consists of a coupled system of three saddle point problems, each perturbed with trilinear forms dependent on the data and the unknowns of the other two problems. The continuous formulations resulting from each of the schemes are approached through a fixedpoint strategy. Therefore, the Babuška-Brezzi theory in Banach spaces allows us to establish that the operators associated with each of the problems are well-stated. In turn, the classic Banach fixed-point theorem, in conjunction with assumptions of small data, results in the existence and uniqueness of the solution at a continuous level. Then, on arbitrary finite element subspaces, we establish Galerkin schemes corresponding to each of the problems. Assuming that the mentioned subspaces are inf-sup stable, Brouwer’s theorem allows us to establish the existence of solutions at the discrete level. Additionally, for the scheme associated with the stationary chemotaxis-Navier-Stokes problem, Banach’s fixed-point theorem also allows establishing the uniqueness of such discrete solution. We obtain Céa’s estimates corresponding to each scheme, and once the finite element subspaces are particularized, the approximation properties allow us to establish the corresponding convergence rates. Finally, numerical experiments confirm these rates and illustrate the good performance of our methods.

En esta tesis, se exploran nuevos métodos de elementos finitos mixtos basados en espacios de Banach para abordar problemas de difusión acoplada y modelos relacionados en mecánica de medios continuos. El enfoque se centra en el análisis numérico y simulación de los problemas de difusión asistida por esfuerzos y chemotaxis-Navier-Stokes. Primero, introducimos y analizamos formulaciones variacionales mixtas basadas en espacios de Banach para el problema de elasticidad lineal casi incompresible y el problema de Stokes. Este enfoque esta motivado por las similitudes entre las formulaciones variacionales de estos modelos con respecto a las obtenidas para el problema de difusión asistida por esfuerzo, el cual sera estudiado subsecuentemente. Con el fin de evadir la imposición de simetría débil sobre el tensor de esfuerzos de Cauchy, reformulamos los problemas en términos del tensor de pseudoesfuerzos. Aplicamos fórmulas de integración por partes acordes a los espacios de Banach utilizados y obteniendo como resultado los esquemas continuos para ambos modelos. Empleamos la teoría de Babuška-Brezzi en espacios de Banach y generalizamos resultados clásicos para establecer que las formulaciones obtenidas estén bien planteadas dentro de estos espacios. A continuación, abordamos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describen la difusión de un soluto en un material elástico. El modelo de elasticidad, inicialmente definido de acuerdo a la relación constitutiva de la ley de Hooke, cuya ecuación de momentum incluye un término fuente dependiente de la difusión, es reformulado usando el tensor de psudoesfuerzos no simétrico y la deformación del solido como incógnitas del esquema mixto. La ecuación de difusión, con función de difusividad y termino fuente dependiendo del tensor de esfuerzos y deformación del sólido, respectivamente, es abordada usando una formulación primal con la concentración como incógnita. Para ambas ecuaciones son consideradas condiciones de contorno Dirichlet. Como continuación natural de lo anterior, se plantea y analiza un enfoque completamente mixto basado en espacios de Banach, generando un nuevo método de elementos finitos para el problema acoplado de difusión asistido por esfuerzo a ser resuelto numéricamente. Introducimos dos esquemas mixtos para el problema de difusión, empleando al flujo de difusión como variable adicional, y para el segundo, consideramos además el gradiente de la concentración como incógnita. Finalmente, introducimos y analizamos un método completamente mixto basado en espacios de Banach para resolver numéricamente el problema de chemotaxis-Navier-Stokes en estado estacionario. Este modelo acoplado y no lineal representa el proceso biológico dado por movimientos celulares conducidos por una señal química externa o interna dentro de un fluido incompresible. Además de la velocidad y presión del fluido, el gradiente de la velocidad y el tensor de esfuerzos de tipo Bernoulli se introducen como variables adicionales, lo que permite eliminar la presión del fluido de las ecuaciones y calcularse mediante un postproceso tras resolver el sistema. A su vez, además de la densidad celular y la concentración de la señal química, los psudoesfuerzos asociados a estas últimas variables y sus correspondientes gradientes son introducidos como incógnitas adicionales. La formulación continua resultante, establecida en un marco Banach, consiste en un sistema acoplado de tres problemas de punto silla, cada uno perturbado con formas trilineales dependientes de los datos y de las incógnitas de los otros dos problemas. Las formulaciones continuas resultantes de cada uno de los esquemas son abordadas mediante una estrategia de punto fijo, por lo cual, la teoría de Babˇuzka-Brezzi en espacios de Banach permite establecer que los operadores asociados a cada uno de los problemas están bien planteados. Por su parte, el clásico teorema de punto fijo de Banach en conjunto con suposiciones de datos pequeños da como resultado la existencia y unicidad de solución a nivel continuo. Luego, sobre subespacios de elementos finitos arbitrarios, establecemos esquemas de Galerkin correspondientes a cada uno de los problemas. Asumiendo que los subspespacios mencionados son inf-sup estables, con lo cual el teorema de Brouwer permite establecer la existencia de solución a nivel discreto. Adicionalmente, para el esquema asociado al problema estacionario de chemotaxis-Navier-Stokes, el teorema de punto fijo de Banach permite además establecer unicidad de dicha solución discreta. Obtenemos estimaciones de Céa correspondiente a cada esquema, y una vez particularizados los subespacios de elementos finitos, las propiedades de aproximación permiten establecer las correspondientes tasas de convergencia. Finalmente, experimentos numéricos confirman dichas tasas e ilustran el buen desempeño de nuestros métodos.