Métodos mixtos de alto orden en mecánica del medio continuo = High-order mixed methods in continuum mechanics.

Abstract

El objetivo de esta tesis es desarrollar discretizaciones de elementos finitos mixtos de alto orden para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales que surgen de la mecánica del medio continuo, centrándose en escenarios en los que nuestros métodos contribuyen a mejorar la precisión de la aproximación de elementos finitos, a saber, el tratamiento de dominios curvos y la presencia de singularidades o altos gradientes de la solución. Primero, proponemos un método de elementos finitos mixto de alto orden para problemas de difusión de estado estacionario con condición de contorno de Dirichlet sobre un dominio curvo. Nuestro enfoque se basa en aproximar el dominio por un subdominio computacional poliédrico donde se considera un método de Galerkin de alto orden para calcular la solución, y en una técnica de transferencia para aproximar el dato Dirichlet sobre la frontera computacional. Bajo hipótesis adecuadas sobre la distancia entre las fronteras curva y computacional, y los subespacios finito-dimensionales, demostramos el buen planteamiento del esquema de Galerkin resultante, y también obtenemos las estimaciones de error correspondientes. A continuación, extendemos las ideas anteriores a las ecuaciones de Stokes en las que el tensor de pseudo-esfuerzo y la velocidad del fluido son las únicas incógnitas, mientras que la presión del fluido se calcula mediante una técnica de post-procesamiento. Para el caso en que la frontera computacional se construye interpolando la frontera real por una función lineal a trozos, también desarrollamos un estimador de error a posteriori residual, confiable y cuasi-eficiente. Su definición emplea una velocidad aproximada más precisa para lograr la misma tasa de convergencia del método cuando la solución es lo suficientemente suave. Finalmente, presentamos un análisis de error de una discretización conforme de elementos finitos para una formulación de cuatro campos del modelo de consolidación de Biot estacionario en poroelasticidad. Asumiendo hipótesis estándar sobre los espacios discretos, primero demostramos el buen planteamiento y estimaciones de error a priori óptimas del esquema de Galerkin asociado. Luego, desarrollamos un estimador de error a posteriori residual, confiable y eficiente. Mostramos que tanto las estimaciones de confiabilidad como de eficiencia son independientes del módulo de dilatación, incluso en el límite incompresible. Para todos los problemas descritos anteriormente, proporcionamos ejemplos numéricos que validan la teoría.