Resumen:
La presente tesis tiene tres objetivos. El primero de ellos es el estudio
de buen planteamiento y el desarrollo de métodos numéricos para
una ley de conservación escalar con flujos no-locales, que modela el
fenómeno de agregación en biología matemática. Se demuestra la existencia
de solución débil de la ecuación no-local de agregación usando
el método de las aproximaciones sucesivas y argumentos de compacidad.
Para la unicidad se utiliza el concepto de entropía y se prueba un
resultado de equivalencia entre soluciones débiles y de entropía. Con el
método de aproximación se desarrollan ejemplos numéricos que ilustran
el fenómeno de agregación.
El segundo objetivo de la tesis es el estudio de buen planteamiento
de una ley de conservación no-local, esta vez modelando el proceso de
sedimentación. Para esta ecuación, se prueba la existencia de soluciones
débiles de entropía por un método de diferencias finitas y argumentos
de compacidad. La unicidad se obtiene por la técnica de doblamiento
de variables. Dependiendo de ciertos valores de parámetros, se obtiene
una regularidad Lipschitz o un Principio del Máximo independiente
del tiempo. Con el método de aproximación se generan resultados
numéricos que se comparan con los modelos clásicos locales. Se aprecia
el fenómeno de sedimentación por capas.
Finalmente, se extiende el método de volúmenes finitos con multiplicadores
de Lagrange generalizados, que originalmente fue desarrollado
para las ecuaciones de Maxwell, a cualquier sistema hiperbólico
de Friedrichs con restricciones de tipo involuciones. Se demuestra la
convergencia del método a la solución deseada. Además se prueba el
cumplimiento de la involución en el sentido débil. Ejemplos numéricos
ilustran las propiedades del método en las ecuaciones de Maxwell y en
la ecuación de inducción en magneto-hidrodinámica.