Numerical solution of stochastic differential equations with multiplicative noise Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Estocásticas con Ruido Multiplicativo

Abstract

Este trabajo de tesis doctoral estudia la solución numérica débil de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) con ruido multiplicativo y sistemas de EDE hacia adelante y reversivas (EDEAR), en un contexto cl asico de hipótesis y vinculadas a ecuaciones diferenciales parciales (EDP) no lineales, respectivamente. En diversos contextos interesa modelar procesos de difusión, por ello la importancia de métodos de aproximación adecuados. Examinamos casos en los cuales los métodos de integración de tipo Euler aplicados a EDE conducen a estimaciones numéricas inestables. Ejemplo de ello son las EDE con ruido multiplicativo, donde usualmente es necesario utilizar discretizaciones temporales > 0 muy pequeñas o bien incorporar términos implícitos en los esquemas numéricos. Abordamos la solución débil de EDE, es decir, la aproximación de valores esperados Ef (Xt) donde (Xt)t 0 es solución de una EDE d-dimensional y f : Rd - R alg un funcional dado. Para tal propósito, consideramos el desarrollo y análisis de esquemas asintóticamente estables casi seguramente, junto con la propiedad de preservación del signo, con orden de convergencia igual al tradicional método de Euler-Maruyama. Proponemos m etodos num ericos débiles sin involucrar integrales múltiples ni términos de difusión implícitos, incluso para EDE que no contengan términos de tendencia. Basado en ello, introducimos nuevos esquemas numéricos gracias a los cuales es posible simular eficientemente el proceso estocástico Xt y así estimar Ef (Xt) utilizando, por ejemplo, el clásico método de Monte-Carlo. Comenzamos diseñando esquemas balanceados de primer orden débil para sistemas lineales de EDE, identificando funciones de estabilización en los coeficientes de tendencia. Presentamos entonces un nuevo enfoque para el tratamiento numérico de EDE con ruido multiplicativo. Para tal efecto, abordamos el contexto de sistemas bilineales de EDE a partir de la estimación eficiente de kXtk mediante un nuevo esquema no lineal escalar junto con la aproximación apropiada del proceso Xt := Xt= kXtk. El notable desempeño de los nuevos esquemas, y su potencial reflejado para estimar EDE localmente Lipschitz y exponentes de Lyapunov, es apoyado por resultados teóricos de convergencia y estabilidad e ilustrado en diversos ejemplos numéricos. Finalmente, nos introducimos en la simulación de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles mediante la solución numérica de una nueva clase de sistemas de EDEAR recientemente introducido. Comenzamos estudiando la ecuación de Burgers resolviendo un sistema acoplado de EDEAR, lo que provee una aproximación probabilística vía la fórmula de Feynman-Kac no lineal, e incorporamos quantización como variable de control para reducir la varianza en el cálculo de valores esperados. Entonces solucionamos numéricamente vórtices de Taylor-Green y ujos de Beltrami usando un novedoso algoritmo probabilístico. Mediante aproximaciones de tipo Riemann y la quantización de variables Gaussianas, estimamos esperanzas de integrales que dependen de las trayectorias de movimientos Brownianos. Nuestros resultados motivan el diseño y estudio teórico de algoritmos probabilísticos para la estimación de EDEAR y, a su vez, EDP no lineales.