A fully-mixed finite element method for the coupling of the Navier-Stokes and Darcy-Forchheimer equations

Abstract

En este trabajo presentamos y analizamos una formulación completamente mixta para el modelo no lineal que se obtiene al acoplar las ecuaciones de Navier–Stokes y Darcy– Forchheimer con una condición de Beavers–Joseph–Saffman en la interfaz. Nuestro enfoque genera espacios normados no-Hilbert y una estructura de doble punto de silla para la ecuación del operador correspondiente. Además, dado que el término convectivo en la ecuación de Navier–Stokes obliga a la velocidad a vivir en un espacio más pequeño de lo habitual, aumentamos la formulación variacional con adecuados términos tipo Galerkin. El esquema resultante se escribe equivalentemente como una ecuación de punto fijo, de modo que los conocidos teoremas de Schauder y Banach, combinados con resultados clásicos de operadores monótonos no lineales, se utilizan para demostrar la unicidad de los problemas continuo y discreto. En particular, dado un entero k 0, espacios de Raviart–Thomas de orden k, polinomios continuos a trozos de grado k+1 y polinomios a trozos de grado k se emplean en el fluido para aproximar el tensor de pseudoesfuerzo, la velocidad y la vorticidad, respectivamente, mientras que espacios de Raviart–Thomas de orden k y polinomios a trozos de grado k para la velocidad y la presión, constituyen una opción viable en el medio poroso. Se derivan las estimaciones de error a priori y las razones de convergencia asociadas, y se proporcionan varios ejemplos numéricos que ilustran el buen desempeño del método.