Métodos de Galerkin discontinuo hibridizable adaptivos y de alto orden en mecánica de fluidos adaptive and high order hybridizable discontinuos galerkin methods in fluid mechanics

Abstract

El objetivo de esta tesis es contribuir al desarrollo de métodos de Galerkin discontinuo hibridizables (HDG por su sigla en inglés) para resolver ecuaciones diferenciales parciales provenientes de la mecánica de fluidos. En primer lugar, proponemos una técnica novedosa para resolver problemas elípticos que involucran una interfaz/frontera no poligonal. Se basa en un método HDG de alto orden en el que la malla no se ajusta exactamente al dominio. Primero estudiamos el caso de un problema de valor de frontera curva con condiciones de borde mixtas. En la frontera computacional, el dato Dirichlet se aproxima utilizando una técnica de transferencia y el tratamiento del dato Neumann se basa en la extrapolación de la aproximación del gradiente. Luego, extendemos estas ideas a interfaces curvas. Proporcionamos resultados numéricos que sugieren orden de convergencia óptimo, de alto orden, si el dominio computacional es construido mediante la interpolación de la frontera/interfaz utilizando segmentos lineales por trozos. A continuación, presentamos y analizamos un método HDG para la formulación gradiente-velocidadpresión del problema Brinkman. Realizamos un análisis de error a priori del método, que muestra el orden óptimo de convergencia del error. También presentamos un estimador de error a posteriori, del tipo residual, que nos ayuda a mejorar la calidad de la solución numérica. Establecemos confiabilidad y eficiencia local de nuestro estimador para las normas naturales con constantes escritas explícitamente en términos de los parámetros físicos e independientes del tamaño de la malla. En particular, nuestros resultados también son válidos para el problema de Stokes. Finalmente, proporcionamos experimentos numéricos que muestran la calidad de nuestro esquema adaptivo. Por último, proponemos un estimador de error a posteriori residual para un método HDG aplicado al problema de Oseen con ingógnitas como las del problema de Brinkman. Al igual que en el problema de Brinkman, probamos confiabilidad y la eficiencia local restreando la dependencia en los parámetros. Tanto para el problema de Brinkman como para el de Oseen usamos las propiedades de aproximación del operador de interpolación Oswald y, para el último, empleamos una técnica de función ponderada para controlar el error L2 de la velocidad. Experimentos numéricos en tres dimensiones ilustran la calidad de nuestro esquema de adaptación.