Resumen:
Desde 1945 se ha intentado definir, de manera apropiada, un producto interior
no-arquimedeano y con ello un espacio con producto interior no-arquimedeano.
Estos espacios muestran una cercana analogía con los espacios de Hilbert clásicos
pero, al contrario de estos, no son ortomodulares: es decir, dado X espacio de
Banach y M X subespacio, se tiene
M?? = M () X = M M? (1)
La existencia de un espacio no arquimedeano de dimensión infinita (no clásico)
ortomodular fue una pregunta abierta durante cierto tiempo, hasta que A. Keller
dio una respuesta positiva en 1980 [10].
Tales espacios deben ser poco comunes, según el siguiente teorema de M.P. Solér
[11]: “Sea X un espacio ortomodular y supongamos que contiene una sucesión
ortonormal e1, e2, . . .(en el sentido del producto interior). Entonces el campo de
base es R o C y X es un espacio de Hilbert clásico”.
El objetivo de este trabajo es lograr definir un producto interior sobre un espacio
de Banach E, y analizar las condiciones necesarias y suficientes para que los
subespacios cerrados de E admitan un complemento normal. En particular, se
enfocará el estudio al espacio de Banach c0(T).
Esta tesis está estructurada de la siguiente forma: en el Capítulo 1 se revisan
algunas definiciones y resultados necesarios para el desarrollo de este trabajo.
Así, por ejemplo, se estudian los campos y espacios ultramétricos. Además, de
definir los espacios de Banach c0(T) y `1(T) se demuestra que todo espacio que
tiene una base es linealmente homeomorfo a algún c0(T). Por otro lado, con la
idea de utilizar conjuntos compactos que también son convexos, se definen los
conjunto compactoides, y se muestran algunas propiedades generales sobre éstos.