Productos interiores No-arquimedeanos

Abstract

Desde 1945 se ha intentado definir, de manera apropiada, un producto interior no-arquimedeano y con ello un espacio con producto interior no-arquimedeano. Estos espacios muestran una cercana analogía con los espacios de Hilbert clásicos pero, al contrario de estos, no son ortomodulares: es decir, dado X espacio de Banach y M X subespacio, se tiene M?? = M () X = M M? (1) La existencia de un espacio no arquimedeano de dimensión infinita (no clásico) ortomodular fue una pregunta abierta durante cierto tiempo, hasta que A. Keller dio una respuesta positiva en 1980 [10]. Tales espacios deben ser poco comunes, según el siguiente teorema de M.P. Solér [11]: “Sea X un espacio ortomodular y supongamos que contiene una sucesión ortonormal e1, e2, . . .(en el sentido del producto interior). Entonces el campo de base es R o C y X es un espacio de Hilbert clásico”. El objetivo de este trabajo es lograr definir un producto interior sobre un espacio de Banach E, y analizar las condiciones necesarias y suficientes para que los subespacios cerrados de E admitan un complemento normal. En particular, se enfocará el estudio al espacio de Banach c0(T). Esta tesis está estructurada de la siguiente forma: en el Capítulo 1 se revisan algunas definiciones y resultados necesarios para el desarrollo de este trabajo. Así, por ejemplo, se estudian los campos y espacios ultramétricos. Además, de definir los espacios de Banach c0(T) y `1(T) se demuestra que todo espacio que tiene una base es linealmente homeomorfo a algún c0(T). Por otro lado, con la idea de utilizar conjuntos compactos que también son convexos, se definen los conjunto compactoides, y se muestran algunas propiedades generales sobre éstos.