Cuerpos de moduli y cuerpo de definición de variedades algebraicas proyectivas = Fields of moduli and fields of definition of projective algebraic varieties

Abstract

Los objetos de estudio de esta tesis son curvas, es decir variedades algebraicas proyectivas suaves de dimension uno, y sus cuerpos de moduli. Dada una curva X definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F, se dice que un subcuerpo L de F es un cuerpo de definicion de X, si existe una curva definida sobre L que es isomorfa a X sobre F. El cuerpo de moduli FX de X es la intersecci on de todos los cuerpos de definicion de X. Luego, si FX es un cuerpo de definicion de X, este es el cuerpo m as peque~no que verifica tal propiedad. Lo anterior motiva la siguiente pregunta. Pregunta. Dada una curva, >es su cuerpo de moduli un cuerpo de definicion? La respuesta no siempre es positiva para curvas de genero g 2 y esta estrictamente relacionada con la estructura del grupo de automorismos de la curva. El objetivo de esta tesis es proporcionar nuevos criterios para garantizar que una curva se defina sobre su cuerpo de moduli y dar nuevos ejemplos de curvas no-hiperelepticas que no cumplen dicha propiedad. Los resultados principales son el Teorema 2.10 y el Teorema 2.15, que son probados en el Capitulo 2. El primer teorema implica la definibilidad en t erminos de una condicion sobre la signatura de un cubrimiento de Galois X ! X=NAut(X)(H), donde NAut(X)(H) es el normalizador de un grupo H que es \unico bajo conjugacion" (en particular, esto se cumple si H = NAut(X)(H) es el grupo de automorismos total de X). Teorema 1. Sea X una curva proyectiva suave de genero g 2 definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F y sea L F un subcuerpo tal que F=L es de Galois. Si H es un subgrupo de Aut(X) unico bajo conjugacion y N : X ! X=N es un cubrimiento de signatura impar, donde N := NAut(X)(H), entonces MF=L(X) es un cuerpo de definicion para X. El segundo teorema generaliza resultados de B. Huggins [32] y A. Kontogeorgis [39]. Teorema 2. Sea F un cuerpo perfecto infinito de caracteristica p 6= 2 y iii sea F una clausura algebraica de F. Sea X una curva de genero g 2 definida sobre F y sea H un subgrupo del grupo de automorismos Aut(X) de X unico bajo conjugaci on tal que la curva X=H tiene genero cero. Si NAut(X)(H)=H no es ni trivial ni c clico, entonces X se puede definir sobre su cuerpo de moduli relativo a la extension F=F. En los Capitulos 3, 4 y 5 se explora, por medio del Teorema 1, el problema de la definibilidad para distintas clases de curvas. En el Capitulo 3 mostramos que las curvas q-gonales ciclicas no normales y ciertas curvas q-gonales ciclicas normales con grupo reducido ciclico se pueden definir sobre sus cuerpos de moduli. En el Capitulo 4 mostramos que una cuartica plana se puede definir sobre su cuerpo de moduli si su grupo de automor ismos es trivial o tiene orden mayor que 4. Esto permite dar una respuesta completa al problema de la definibilidad para la extension C=R. En el Capitulo 5 proporcionamos una clasificacion completa de cuales curvas hiperelepticas de genenero cuatro y cinco se pueden definir sobre su cuerpo de moduli, de acuerdo con su grupo de automorismos. Tambien damos resultados parciales en el caso no-hipereleptico. Finalmente, en el Cappitulo 6, se construyen modelos sobre el cuerpo de moduli para ciertas curvas hiperelepticas cuyo grupo de automorismos reducido es un grupo diedral. Estos modelos estan dados en terminos de los invariantes diedrales introducidos en [23].