Problemas de definibilidad e indecidibilidad en algunos anillos de funciones = Definability and Undecidability problems in some rings of functions.

Abstract

En el Capítulo 3 demostraremos un resultado sobre representación de cuadrados mediante polinomios mónicos de segundo grado en el campo de las funciones meromorfas p-ádicas (los polinomios considerados tienen sus coeficientes en este mismo campo), para así resolver el problema de Büchi de los n cuadrados en este campo. Usando este resultado, demostramos la no existencia de un algoritmo para decidir si un sistema de formas cuadráticas diagonales sobre Z[z] representa o no en el anillo de funciones enteras p-ádicas (con variable z) un vector dado de polinomios de Z[z], y un resultado similar para funciones meromorfas p-ádicas cuando los sistemas admiten condiciones de anulamiento sobre las incógnitas. Esto mejora la ya conocida respuesta negativa al análogo del Décimo Problema de Hilbert para estas estructuras. También mejoramos algunos resultados de Vojta relativos al caso de funciones meromorfas complejas, campos de funciones algebraicas y fi nalmente campos de números, y mostramos una directa conexión de esto último con la conjetura de Bombieri para superfi cies sobre campos de números.