Análisis de error a-priori y a-posteriori de algunos métodos de elementos finitos mixtos estabilizados.
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Date
2006
Authors
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Publisher
Universidad de Concepción.
Abstract
En esta tesis desarrollamos el análisis de error a-priori y a-posteriori de algunos
métodos de elementos finitos mixtos estabilizados. Para tal efecto consideramos los siguientes
problemas modelos:
.- Un problema de Poisson con condiciones de contorno mixtas.
.- Un problema de Poisson con condiciones de tipo Neumann.
.- Un problema de elasticidad lineal con condiciones de tipo Dirichlet.
Para el primer problema presentamos una nueva formulación mixta aumentada con multiplicador
de Lagrange que nos permite analizar su resolución numérica. Específicamente,
el esquema aumentado se deduce introduciendo términos residuales de mínimos cuadrados
provenientes de la ecuaciones constitutiva y de equilibrio. Utilizamos la teoría clásica de
Babuska-Brezzi para demostrar que la formulación mixta dual resultante y su esquema de
Galerkin correspondiente son problemas bien planteados, y proporcionamos las razones
de convergencia optimales. Luego, desarrollamos el análisis de error a-posteriori de dos
estimadores diferentes, uno de tipo residual, que resulta ser confiable y eficiente, y otro
estimador basado en la proyección de Ritz del error, que resulta ser confiable y cuasieficiente.
Finalmente, incluimos resultados numéricos que avalan la eficiencia de ambos
esquemas adaptivos.
Para el segundo problema presentamos el análisis de error a-priori y a-posteriori de un
nuevo esquema estabilizado, el cual introduce la traza de la solución en la frontera como
un multiplicador de Lagrange. Esto nos sugiere enriquecer la formulación con un término
residual medido en la norma del espacio de Sobolev de orden 1/2. Utilizamos bases de ondelettes
para construir una forma bilineal, equivalente al producto escalar respectivo, que
permite controlar este término estabilizador. Probamos que tanto la formulación variacional
como el esquema de Galerkin asociado son problemas bien propuestos, y deducimos
las razones de convergencia optimales correspondientes. Además, presentamos el análisis
de un estimador de error a-posteriori que resulta ser confiable y cuasi-eficiente.
Finalmente, para el problema de elasticidad consideramos una nueva formulación aumentada
que se origina al incluir términos de mínimos cuadrados provenientes de las
ecuaciones constitutiva y de equilibrio, y de la relación que define la rotación en términos
de los desplazamientos. Para esta formulación desarrollamos un estimador de error de
tipo residual confiable y eficiente. Presentamos resultados numéricos que confirman las
propiedades teóricas del estimador y la versatilidad del esquema adaptivo.
Description
Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática.
Keywords
Ingeniería Matemática, Método de Elementos Finitos, Ecuaciones Diferenciales Parciales.