Cuerpos de moduli y cuerpo de definición de variedades algebraicas proyectivas = Fields of moduli and fields of definition of projective algebraic varieties
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Date
2013
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Universidad de Concepción.
Abstract
Los objetos de estudio de esta tesis son curvas, es decir variedades algebraicas
proyectivas suaves de dimension uno, y sus cuerpos de moduli. Dada
una curva X definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F, se dice
que un subcuerpo L de F es un cuerpo de definicion de X, si existe una
curva definida sobre L que es isomorfa a X sobre F. El cuerpo de moduli
FX de X es la intersecci on de todos los cuerpos de definicion de X. Luego,
si FX es un cuerpo de definicion de X, este es el cuerpo m as peque~no que
verifica tal propiedad. Lo anterior motiva la siguiente pregunta.
Pregunta. Dada una curva, >es su cuerpo de moduli un cuerpo de definicion?
La respuesta no siempre es positiva para curvas de genero g 2 y esta
estrictamente relacionada con la estructura del grupo de automorismos
de la curva. El objetivo de esta tesis es proporcionar nuevos criterios
para garantizar que una curva se defina sobre su cuerpo de moduli y dar
nuevos ejemplos de curvas no-hiperelepticas que no cumplen dicha propiedad.
Los resultados principales son el Teorema 2.10 y el Teorema 2.15, que son
probados en el Capitulo 2. El primer teorema implica la definibilidad en
t erminos de una condicion sobre la signatura de un cubrimiento de Galois
X ! X=NAut(X)(H), donde NAut(X)(H) es el normalizador de un
grupo H que es \unico bajo conjugacion" (en particular, esto se cumple
si H = NAut(X)(H) es el grupo de automorismos total de X).
Teorema 1. Sea X una curva proyectiva suave de genero g 2 definida
sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F y sea L F un subcuerpo tal que
F=L es de Galois. Si H es un subgrupo de Aut(X) unico bajo conjugacion
y N : X ! X=N es un cubrimiento de signatura impar, donde N :=
NAut(X)(H), entonces MF=L(X) es un cuerpo de definicion para X.
El segundo teorema generaliza resultados de B. Huggins [32] y A. Kontogeorgis
[39].
Teorema 2. Sea F un cuerpo perfecto infinito de caracteristica p 6= 2 y
iii
sea F una clausura algebraica de F. Sea X una curva de genero g 2
definida sobre F y sea H un subgrupo del grupo de automorismos Aut(X)
de X unico bajo conjugaci on tal que la curva X=H tiene genero cero. Si
NAut(X)(H)=H no es ni trivial ni c clico, entonces X se puede definir sobre
su cuerpo de moduli relativo a la extension F=F.
En los Capitulos 3, 4 y 5 se explora, por medio del Teorema 1, el problema
de la definibilidad para distintas clases de curvas. En el Capitulo
3 mostramos que las curvas q-gonales ciclicas no normales y ciertas curvas
q-gonales ciclicas normales con grupo reducido ciclico se pueden definir sobre
sus cuerpos de moduli. En el Capitulo 4 mostramos que una cuartica
plana se puede definir sobre su cuerpo de moduli si su grupo de automor
ismos es trivial o tiene orden mayor que 4. Esto permite dar una
respuesta completa al problema de la definibilidad para la extension C=R.
En el Capitulo 5 proporcionamos una clasificacion completa de cuales curvas
hiperelepticas de genenero cuatro y cinco se pueden definir sobre su cuerpo
de moduli, de acuerdo con su grupo de automorismos. Tambien damos
resultados parciales en el caso no-hipereleptico.
Finalmente, en el Cappitulo 6, se construyen modelos sobre el cuerpo de
moduli para ciertas curvas hiperelepticas cuyo grupo de automorismos reducido
es un grupo diedral. Estos modelos estan dados en terminos de los
invariantes diedrales introducidos en [23].
Description
Tesis (Doctor para optar al grado de Doctor en Matemática)
2013.
2013.
Keywords
Curvas Algebraicas, Variedades Algebraicas