A Banach space mixed formulation for the unsteady Brinkman problem with spatially varying porosity.
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Date
2025
Authors
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Publisher
Universidad de Concepción
Abstract
In this thesis, we propose and analyze a new mixed formulation for the Brinkman equations with spatially varying porosity, modeling the time-dependent flow of an incompressible fluid through heterogeneous porous media. The formulation is developed within a Banach space framework and introduces the stress and vorticity tensors as additional unknowns. This approach eliminates the pressure, which can be recovered via post-processing, yielding a stressvelocity- vorticity system. The well-posedness of the continuous problem is proved under an appropriate small-porosity assumption, by employing monotone operator techniques together with recent advances on the solvability of perturbed saddle-point problems in Banach spaces. At the discrete level, we first introduce a semidiscrete continuous-in-time scheme employing finite element spaces stable for elasticity, such as the PEERS and Arnold–Falk–Winther elements. We prove the well-posedness of this scheme and derive the corresponding a priori error estimates. Subsequently, a fully discrete method is obtained by applying the backward Euler scheme for the time discretization, for which we also establish well-posedness and derive optimal convergence rates with respect to the spatial and temporal discretization parameters. Under this setting, momentum is conserved provided that the porosity and the permeability tensor are piecewise constant, and that the external force is a piecewise polynomial function. Finally, several two- and three-dimensional numerical experiments, involving both manufactured and non-manufactured solutions, are presented, which confirm the theoretical convergence rates and highlight the capability of the proposed method to handle challenging geometries featuring strong contrasts in physical parameters such as permeability and porosity.
En esta tesis, proponemos y analizamos una nueva formulación mixta para las ecuaciones de Brinkman considerando porosidad variable en el espacio, modelando el flujo evolutivo de un fluido incompresible a través de medios porosos heterogéneos. La formulación se desarrolla en el marco de espacios de Banach e introduce los tensores de esfuerzo y vorticidad como incógnitas adicionales. Este enfoque permite eliminar la presión, la cual puede ser recuperada mediante post-proceso, conduciendo así a un sistema esfuerzo-velocidad-vorticidad. Se prueba que el problema continuo está bien puesto bajo una suposición apropiada de porosidad pequeña, empleando técnicas de operadores monótonos, junto con avances recientes en la solubilidad de problemas de punto de silla perturbados en espacios de Banach. A nivel discreto, primero introducimos un esquema semidiscreto continuo en tiempo empleando elementos finitos estables para elasticidad, tales como los elementos PEERS y Arnold–Falk–Winther. Probamos que este esquema está bien puesto y deducimos las correspondientes estimaciones de error a priori. Luego se obtiene un método totalmente discreto aplicando el esquema de Euler regresivo para la discretización en tiempo, para lo cual también establecemos que está bien puesto y deducimos tasas de convergencia óptimas con respecto a los parámetros de discretización tanto espacial como temporal. En este esquema, el momentum se conserva si es que la porosidad y el tensor de permeabilidad son constantes por trozos y la fuerza externa es una función polinomial a trozos. Finalmente, se presentan varios ensayos numéricos en dos y tres dimensiones, involucrando soluciones manufacturadas y no manufacturadas, los cuales confirman las tasas de convergencia teóricas y destacan la capacidad del método propuesto para manejar geometrías desafiantes en conjunto con fuertes contrastes entre parámetros físicos como la permeabilidad y la porosidad.
En esta tesis, proponemos y analizamos una nueva formulación mixta para las ecuaciones de Brinkman considerando porosidad variable en el espacio, modelando el flujo evolutivo de un fluido incompresible a través de medios porosos heterogéneos. La formulación se desarrolla en el marco de espacios de Banach e introduce los tensores de esfuerzo y vorticidad como incógnitas adicionales. Este enfoque permite eliminar la presión, la cual puede ser recuperada mediante post-proceso, conduciendo así a un sistema esfuerzo-velocidad-vorticidad. Se prueba que el problema continuo está bien puesto bajo una suposición apropiada de porosidad pequeña, empleando técnicas de operadores monótonos, junto con avances recientes en la solubilidad de problemas de punto de silla perturbados en espacios de Banach. A nivel discreto, primero introducimos un esquema semidiscreto continuo en tiempo empleando elementos finitos estables para elasticidad, tales como los elementos PEERS y Arnold–Falk–Winther. Probamos que este esquema está bien puesto y deducimos las correspondientes estimaciones de error a priori. Luego se obtiene un método totalmente discreto aplicando el esquema de Euler regresivo para la discretización en tiempo, para lo cual también establecemos que está bien puesto y deducimos tasas de convergencia óptimas con respecto a los parámetros de discretización tanto espacial como temporal. En este esquema, el momentum se conserva si es que la porosidad y el tensor de permeabilidad son constantes por trozos y la fuerza externa es una función polinomial a trozos. Finalmente, se presentan varios ensayos numéricos en dos y tres dimensiones, involucrando soluciones manufacturadas y no manufacturadas, los cuales confirman las tasas de convergencia teóricas y destacan la capacidad del método propuesto para manejar geometrías desafiantes en conjunto con fuertes contrastes entre parámetros físicos como la permeabilidad y la porosidad.
Description
Tesis presentada para optar al título de Ingeniero/a Civil Matemático.
Keywords
Porosity, Space, Banach function spaces