Tesis Doctorado

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Métodos de elementos finitos mixtos para problemas de difusión acoplados en mecánica = Mixed finite element methods for coupled diffusion problems in mechanics.
(Universidad de Concepción., 2019) Gómez Vargas, Bryan Andrés; Gatica Pérez, Gabriel N.; Ruiz Baier, Ricardo
El objetivo de esta tesis es desarrollar nuevos métodos de elementos finitos mixtos para generar soluciones aproximadas a problemas acoplados que se rigen por sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, los cuales surgen en la mecánica de fluidos y sólidos. En particular, nos enfocamos en dos modelos: difusión asistida por esfuerzo y un problema de cambio de fase. Debido a la poca información matemática y numérica relacionada con este tipo específico de problemas, en esta tesis proponemos establecer aproximaciones bien puestas de elementos finitos, con la intención de obtener existencia y unicidad de la solución. Así, para el análisis matemático y numérico, introducimos esquemas mixtos y primales, y entonces, usando técnicas y resultados clásicos, probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, y establecemos las estimaciones de error correspondientes. A su vez, para todos los problemas mencionados anteriormente, se presentan experimentos numéricos que validan la teoría propuesta. Además, se presenta una variedad de ejemplos aplicados de interés, los cuales incluyen: la simulación del daño de electrodos microscópicos en baterías de iones de litio, cambio de fase en una cavidad cuboide, y derretimiento de un material sólido. Comenzamos con el análisis matemático y numérico de un sistema acoplado regido por las ecuaciones de elasticidad-difusión, el cual, modela los fenómenos de transporte y las interacciones químicas dentro de un sólido. El acoplamiento se introduce por medio de la difusión asistida por esfuerzo, donde la propagación de especies se ve afectada debido a los esfuerzos generados por el movimiento del sólido. El sistema se formula en términos del esfuerzo, desplazamiento y rotación para las ecuaciones de elasticidad, mientras que la concentración es usada para el problema de difusión. Para el análisis matemático, se proponen dos formulaciones variacionales, las cuales llamamos: aproximaciones mixtaprimal y completamente mixta aumentada. La solubilidad de las formulaciones resultantes se establece combinando argumentos de punto fijo, estimaciones de regularidad, teoría de Babuška-Brezzi y lema de Lax-Milgram. Luego, construimos las correspondientes discretizaciones de Galerkin basadas en espacios de elementos finitos adecuados y derivamos estimaciones de error a priori óptimas. A continuación, analizamos el modelo presentado anteriormente, pero ahora basados en una formulación completamente mixta. Por razones de regularidad, proponemos aquí una formulación mixta aumentada para el problema de difusión, mientras que la clásica formulación mixta de esfuerzo, desplazamiento y rotación se utiliza para las ecuaciones de elasticidad. El esquema de Galerkin resulta en un método aumentado completamente mixto de elementos finitos, el cual utiliza los elementos Arnold-Falk-Winther para la elasticidad, y un triplete dado por Raviart-Thomas en conjunto con elementos polinomiales a trozos para la ecuación mixta de difusión. Los clásicos teoremas de punto fijo de Schauder y Brouwer se utilizan para establecer la existencia de solución, tanto para la formulación continua como para la discreta. Luego, bajo el supuesto de dato pequeño, nos es posible demostrar unicidad de la solución y obtener estimaciones de error a priori óptimas. Adicionalmente, análisis de error a posteriori y adaptabilidad computacional son desarrollados para las formulaciones mixta-primal y completamente mixta mencionadas anteriormente. Para el análisis de la confiabilidad de los indicadores de error basados en términos residuales, procedemos usando la condición inf-sup continua, la cual viene dada de la solubilidad del problema continuo, en conjunto con descomposiciones estables de Helmholtz, donde aprovechamos las propiedades de aproximación de los operadores de interpolación. Además, utilizamos técnicas de localización basada en funciones burbuja sobre triángulos y lados, desigualdades inversas y una desigualdad de trazas discreta, para derivar la eficiencia de los estimadores. Por otro lado, trabajamos con un modelo de cambio de fase del tipo Boussinesq dentro de medios porosos. Proponemos un método de elementos finitos para su aproximación numérica, donde, las propiedades de estabilidad, existencia y unicidad de las formulaciones continuas y discretas son establecidas aplicando técnicas clásicas para problemas evolutivos no lineales, tales como: el método de Galerkin, la desigualdad de Gronwall y el teorema del punto fijo de Brouwer. Luego, probamos el rendimiento del método utilizando un problema clásico de referencia para la convección del aire, donde la viscosidad escalada es uno, no hay porosidad, ni términos de entalpía. En segundo lugar, simulamos el derretimiento de un material sólido, donde el cambio de fase se incorpora de dos maneras alternativas: ya sea, usando viscosidad o porosidad como principales efectos que producen el movimiento de la interfaz. Finalmente, cerramos esta tesis presentando dos nuevas formulaciones variacionales aumentadas para un problema estacionario de cambio de fase, las cuales llamamos: formulaciones mixta-primal y totalmente mixta. Aprovechando la regularidad asumida para la velocidad, no necesitamos introducir aquí la rotación como una nueva incógnita, lo cual es una de las novedades de esta tesis. Así, las principales incógnitas asociadas a nuestro método son: el pseudo-esfuerzo, la tensión y la velocidad para las ecuaciones de de Navier-Stokes-Brinkman, mientras que la temperatura, el flujo de calor normal en la frontera y una incógnita auxiliar son introducidas para la ecuación de conservación de energía. Probamos la solubilidad de los problemas continuos y discretos, y derivamos el análisis de error correspondiente.
Métodos de elementos finitos mixtos para problemas no lineales en biomedicina y biología = Mixed finite element methods for nonlinear problems in biomedicine and biology.
(Universidad de Concepción., 2021) Miranda Tobar, Willian Armando; Gatica Pérez, Gabriel N.; Colmenares, Eligio; Hurtado, Daniel
This thesis aims to develop the mathematical and numerical analysis of nonlinear coupled partial differential equations (PDE’s)-based models that describe certain phenomena in Biology and Biomedicine encompassing generalized bioconvection and deformable image registration. More precisely, we introduce primal and mixed schemes based on finite elements for the aforementioned models, prove the solvability of the continuous and discrete problems, establish the corresponding error estimates, and present a variety of tests to validate the theoretical results and illustrate the performance of such methods including applied examples. We begin with the bioconvective flows model, which describes the hydrodynamics of microorganisms in a culture fluid and takes place in several biological processes, including reproduction, infection, and the marine life ecosystem. The flows are governed by a Navier-Stokes type system coupled to a conservation equation that models the microorganisms concentration. The culture fluid is assumed to be viscous and incompressible with a concentration dependent viscosity. For the mathematical analysis, the model is rewritten in terms of a first-order system based on the introduction of the strain, the vorticity, and the pseudo-stress tensors in the fluid equations along with an auxiliary vector in the concentration equation. The resulting weak model is then augmented using appropriate redundant parameterized terms and rewritten as a fixed-point problem. Existence and uniqueness results for both the continuous and the discrete scheme are obtained under certain regularity assumptions combined with the Lax-Milgram theorem or the Babuˇska-Brezzi theory, and the Banach and Brouwer fixed-point theorems. Optimal a priori error estimates are also derived and confirmed via numerical examples. Next, we address the study of a deformable image registration (DIR) model, which arises in numerous research fields as a solution to the combination or comparison of a series of images. Specifically, in Biomedicine, there is a need to detect changes in images obtained from the same subject over time, whereby the deformable image registration represents a powerful computational method for image analysis, with promising applications in the diagnosis of human disease. One important and recent application of DIR is the study of local lung tissue deformation from computed-tomography images of the thorax, which allows the early detection of damage induced by mechanical ventilation in the lung. In our case, for the first model studied in this part, which we will call extended deformable image registration problem, we propose a finite element method for its numerical approximation, proving well-posedness of the primal and dual-mixed continuous formulations, as well as of the associated Galerkin schemes. A priori error estimates and the corresponding rates of convergence are also established for both discrete methods. In addition, we provide numerical examples confronting our formulations with the standard ones. Finally, in order to guarantee an appropriate convergence behavior of the discrete approximations
Métodos de elementos virtuales para problemas espectrales Virtual element method for Spectral problem
(Universidad de Concepción., 2016) Rivera Acuña, Gonzalo Alejandro; Rodríguez, Rodolfo
El objetivo principal de esta tesis doctoral es el análisis matemático y numérico de la aplicación de los métodos de elementos virtuales en mallas con polígonos generales, a la solución de diversos problemas de valores propios y de flexión de placas moderadamente gruesas, con el propósito de obtener contribuciones originales y enriquecer el conocimiento existente en el área de los métodos de elementos virtuales. En particular se consideran el problema de valores propios de Steklov y el de vibraciones acústicas. En el primer caso también se propone un estimador a posteriori del error y un proceso adaptativo basado en este estimador. Por otra parte, en esta tesis, también se propone y estudia un método de elementos virtuales para resolver el problema de flexión de placas modeladas por las ecuaciones de Reissner-Mindlin. En particular se propone un método de elementos virtuales para una formulación escrita en términos de las variables de la deformación de corte y la deflexión y se demuestra que no sufre de bloqueo. En lo que se refiere al problema de valores propios de Steklov, el estudio se centra en la desarrollar un método de elementos virtuales apropiado para el estudio de la aproximación numérica de los autovalores del problema. Para llevar a cabo este análisis, se propuso una discretización por medio de los elementos virtuales que se presentan en [L. Beirão da Veiga, et al., Basic principles of virtual element methods, Models Methods Appl. Sci. 23 (2013) 199-214]. Bajo suposiciones estándar en el dominio computacional, se establece que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro, y se demuestra que las estimaciones del error son de orden óptimo para las funciones propias y los valores propios. Adicionalmente, en esta primera parte, se demuestran estimaciones de un mejor orden para el cálculo del error de aproximación de de las funciones propias en la frontera libre, que en algunos problemas de Steklov (por ejemplo, el calculo de los modos de “sloshing”) son una cantidad de gran interés. Todas las estimaciones obtenidas en el análisis teórico, son corroboradas mediante ejemplos numéricos. En la segunda parte se propone y desarrolla el análisis matemático y numérico de un estimador de error a posteriori del tipo residual para la aproximación por elementos virtuales del problema de valores propios de Steklov en dos dimensiones, aplicado a mallas poligonales muy generales. Dado que, los flujos normales de la solución virtual presentada en la primera parte no se pueden calcular explícitamente, estos son reemplazados por una proyección adecuada de ellos. Como consecuencia de esta sustitución, aparecen nuevos términos adicionales en el estimador, que representan la “inconsistencia virtual” de los métodos de elementos virtuales. De este modo se obtiene un estimador del error a posteriori de tipo residual, que es totalmente calculable, ya que depende únicamente de las cantidades disponibles a partir de la solución virtual (sus grados de libertad y su proyección elíptica, local, sobre los polinomios), se establece que el estimador es equivalente al error salvo términos de orden superior. Finalmente, el estimador del error se utiliza para guiar el refinamiento de mallas adaptativas en una serie de problemas test, con diferentes regularidades de la solución exacta. En la tercera parte de esta tesis se aborda el análisis matemático y numérico de la aproximación por elementos virtuales, para el problema de vibraciones acústicas. Para ello, se considera una formulación variacional del problema espectral en términos del desplazamiento del fluido. Inspirados en [L. Beirão da Veiga, F. Brezzi, L. D. Marini and A. Russo, Mixed virtual element methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes, ESAIM Math. Model. Numer. Anal.(2016)], se propone una discretización virtual de H(div) con rotor nulo. Bajo suposiciones estándar del dominio, se establece que el esquema resultante proporciona una aproximación correcta del espectro y se prueba que las estimaciones del error son óptimas para las funciones propias y los valores propios. Con este fin, se demuestran propiedades de aproximaci ón para los elementos virtuales propuestos. Por último se presentan experimentos numéricos que corroboran los resultados teóricos obtenidos. Finalmente, se estudia un método de elementos virtuales para el problema de deflexión de placas de Reissner-Mindlin. Con este objetivo, se comienza con una formulación variacional del problema escrito en términos de las variables de deformación de corte y deflexión, presentádos en [L. Beirão da Veiga, et al., A locking-free model for Reissner-Mindlin plates: analysis and isogeometric implementation via NURBS and triangular NURPS, Models Methods Appl. Sci. 25(8) (2015) 1519–1551]. Se propone una formulación discreta conforme en [H1( )]2 × H2( ) para la deformación de corte y deflexión, respectivamente. Una característica distintiva de este enfoque es la aproximación directa de la deformación de corte. Por otra parte, las rotaciones se obtienen con un simple tratamiento de post-proceso de la deformación corte y deflexión. Se prueba que las estimaciones del error son óptimas para todas las variables involucradas (en las normas naturales de la formulación adoptada), con constantes independientes del espesor de la placa. Por último, se presenta experimentos numéricos que permiten evaluar el desempeño del método, mostrando que es convergente y libre de bloqueo como lo predice la teoría.
Spatio-temporal dynamics of selected multispecies systems: multiclass traffic and predator-prey-taxis models.
(Universidad de Concepción., 2020) Ordoñez Cardales, Rafael Enrique; Bürger, Raimund; Villada Osorio, Luis Miguel
This thesis deals with the mathematical and numerical analysis of two models that describe the behavior of multiple species from partial differential equations. In particular, a system of conservation laws with a discontinuous flow function and a reaction-diffusion system coupled with elliptic equations are considered, modeling traffic flow problems that distinguish between free-congested flow and the dynamics of populations that interact with chemotaxis. The main contents of this thesis is structured as follows: In Chapter 1, we construct a numerical scheme that is similar to the one proposed by [J.D. Towers, A splitting algorithm for LWR traffic models with flux discontinuities in the unknown, J. Comput. Phys., 421 (2020), article 109722], by decomposing the discontinuous velocity function into a Lipschitz continuous function plus a Heaviside function and designing a corresponding splitting scheme. The part of the scheme related to the discontinuous flux is handled by a semi-implicit step that does, however, not involve the solution of systems of linear or nonlinear equations. It is proved that the whole scheme converges to a weak solution in the scalar case. The scheme can in a straightforward manner be extended to the multiclass LWR (MCLWR) model, which is defined by a hyperbolic system of N conservation laws for N driver classes that are distinguished by their preferential velocities. It is shown that the multiclass scheme satisfies an invariant region principle, that is, all densities are nonnegative and their sum does not exceed a maximum value. In the scalar and multiclass cases no flux regularization or Riemann solver is involved, and the CFL condition is not more restrictive than for an explicit scheme for the continuous part of the flux. Numerical tests for the scalar and multiclass cases are presented. In Chapter 2, we formulate a reaction-diffusion system to describe three interacting species within the Hastings-Powell (HP) food chain structure with chemotaxis produced by three chemicals. We construct a finite volume (FV) scheme for this system, and in combination with the non-negativity and a priori estimates for the discrete solution, the existence of a discrete solution of the FV scheme is proved. It is shown that the scheme converges to the corresponding weak solution of the model. The convergence proof uses two ingredients of interest for various applications, namely the discrete Sobolev embedding inequalities with general boundary conditions and a space-time L 1 compactness argument. Finally, numerical tests illustrate the model and the behavior of the FV scheme.

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