Tesis Doctorado
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Browsing Tesis Doctorado by Author "Artebani, Michela"
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Item About non-symplectic automorphisms of composite order of K3 surfaces.(Universidad de Concepción., 2020) Valdés Vásquez, María Elisa; Artebani, Michela; Comparin, PaolaUn automorfismo de orden finito n ≥ 2 de una superficie K3 proyectiva compleja es llamado no-simpléctico si su acción en el espacio vectorial de las 2-formas holomorfas es no trivial, y es puramente no-simpléctico si tal acción tiene orden n. De [Nik79a, Theorem 0.1] el rango del reticulado trascendental de una superficie K3 con un automorfismo puramente no-simpléctico de orden n es divisible por la función de Euler de n. Esto implica que ϕ(n) ≤ 21 y todos los enteros positivos n 6= 60 con tal propiedad resultan ser los ordenes de automorfismos no-simplécticos [MO98, Main Theorem 3]. Se conoce una clasificación de automorfismos puramente no-simpléctios para todos los ordenes primos [Nik79a, OZ98, OZ11, Vor83, OZ00, Kon92, AS08, AST11], cuando ϕ(n) = 20 [MO98], cuando el automorfismo actúa en el reticulado de Néron-Severi y ϕ(n) es igual al rango del reticulado trascendental [Vor83,Kon92,OZ00,Sch10], para los ordenes 6, 16 [Dil12,ATST16] y 4, 8 [AS15,ATS18] (los últimos contienen clasificaciones parciales). En caso de que el automorfismo tenga orden primo, su reticulado invariante en H2 (X, Z) es un reticulado p-elemental. Esto hace que la clasificación de estos automorfismos sea más fácil, por medio de la teoría de reticulados, ya que los reticulados p-elementales están clasificados. Por otro lado, la clasificación de los automorfismos de orden compuesto es más sutil y se requiere del uso de argumentos geométricos.Item Cox rings of K3 surfaces of Picard number three and four = Anillos de Cox de superficies K3 de número de Picard tres y cuatro.(Universidad de Concepción., 2020) Correa Deisler, Claudia Inés; Artebani, Michela; Laface, AntonioEn esta tesis estudiamos anillos de Cox de superficies K3 Mori dream, es decir superficies proyectivas suaves X con H1 (X, OX) = {0} y con clase canónica trivial cuyo anillo de Cox es finitamente generado. Hacia el 2009, comienza la investigación sobre los anillos de Cox de las superficies K3 con el trabajo de Artebani, Hausen y Laface [AHL10] y McKernan [McK10], donde los autores probaron independientemente que el anillo de Cox de una superficie K3 es finitamente generado si y sólo si su cono efectivo es poliedral, o equivalente si su grupo de automorfismos es finito. Las superficies K3 proyectivas con número de Picard ≥ 3 y con grupo de automorfismos finito han sido clasificadas, y se sabe que hay un número finito de familias con dicha propiedad. El objetivo principal de esta tesis es desarrollar técnicas y herramientas computacionales para calcular anillos de Cox de superficies K3 Mori dream, es decir encontrar generadores y relaciones para el anillo de Cox. Un primer resultado en esta dirección se basa en sucesiones exactas de tipo Koszul, el cual nos permite probar un teorema general para los anillos de Cox de superficies K3 (no necesariamente Mori dream), es decir demostramos que los grados de un conjunto minimal de generadores del anillo de Cox R(X) son o bien clases de (−2)-curvas, o bien clases de divisores nef los cuales son suma de a lo más tres elementos de la baseItem Cuerpos de moduli y cuerpo de definición de variedades algebraicas proyectivas = Fields of moduli and fields of definition of projective algebraic varieties(Universidad de Concepción., 2013) Quispe Mendoza, Saúl; Artebani, MichelaLos objetos de estudio de esta tesis son curvas, es decir variedades algebraicas proyectivas suaves de dimension uno, y sus cuerpos de moduli. Dada una curva X definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F, se dice que un subcuerpo L de F es un cuerpo de definicion de X, si existe una curva definida sobre L que es isomorfa a X sobre F. El cuerpo de moduli FX de X es la intersecci on de todos los cuerpos de definicion de X. Luego, si FX es un cuerpo de definicion de X, este es el cuerpo m as peque~no que verifica tal propiedad. Lo anterior motiva la siguiente pregunta. Pregunta. Dada una curva, >es su cuerpo de moduli un cuerpo de definicion? La respuesta no siempre es positiva para curvas de genero g 2 y esta estrictamente relacionada con la estructura del grupo de automorismos de la curva. El objetivo de esta tesis es proporcionar nuevos criterios para garantizar que una curva se defina sobre su cuerpo de moduli y dar nuevos ejemplos de curvas no-hiperelepticas que no cumplen dicha propiedad. Los resultados principales son el Teorema 2.10 y el Teorema 2.15, que son probados en el Capitulo 2. El primer teorema implica la definibilidad en t erminos de una condicion sobre la signatura de un cubrimiento de Galois X ! X=NAut(X)(H), donde NAut(X)(H) es el normalizador de un grupo H que es \unico bajo conjugacion" (en particular, esto se cumple si H = NAut(X)(H) es el grupo de automorismos total de X). Teorema 1. Sea X una curva proyectiva suave de genero g 2 definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F y sea L F un subcuerpo tal que F=L es de Galois. Si H es un subgrupo de Aut(X) unico bajo conjugacion y N : X ! X=N es un cubrimiento de signatura impar, donde N := NAut(X)(H), entonces MF=L(X) es un cuerpo de definicion para X. El segundo teorema generaliza resultados de B. Huggins [32] y A. Kontogeorgis [39]. Teorema 2. Sea F un cuerpo perfecto infinito de caracteristica p 6= 2 y iii sea F una clausura algebraica de F. Sea X una curva de genero g 2 definida sobre F y sea H un subgrupo del grupo de automorismos Aut(X) de X unico bajo conjugaci on tal que la curva X=H tiene genero cero. Si NAut(X)(H)=H no es ni trivial ni c clico, entonces X se puede definir sobre su cuerpo de moduli relativo a la extension F=F. En los Capitulos 3, 4 y 5 se explora, por medio del Teorema 1, el problema de la definibilidad para distintas clases de curvas. En el Capitulo 3 mostramos que las curvas q-gonales ciclicas no normales y ciertas curvas q-gonales ciclicas normales con grupo reducido ciclico se pueden definir sobre sus cuerpos de moduli. En el Capitulo 4 mostramos que una cuartica plana se puede definir sobre su cuerpo de moduli si su grupo de automor ismos es trivial o tiene orden mayor que 4. Esto permite dar una respuesta completa al problema de la definibilidad para la extension C=R. En el Capitulo 5 proporcionamos una clasificacion completa de cuales curvas hiperelepticas de genenero cuatro y cinco se pueden definir sobre su cuerpo de moduli, de acuerdo con su grupo de automorismos. Tambien damos resultados parciales en el caso no-hipereleptico. Finalmente, en el Cappitulo 6, se construyen modelos sobre el cuerpo de moduli para ciertas curvas hiperelepticas cuyo grupo de automorismos reducido es un grupo diedral. Estos modelos estan dados en terminos de los invariantes diedrales introducidos en [23].